配方法：一次終於講透的逐步詳解

配方法是那種學生看過一次就忘的代數操作之一。但它正是二次公式、拋物線的頂點式以及若干常見的微積分積分背後唯一的那項技巧。一旦你把這個訣竅內化於心，你就擁有了一件能用一輩子的工具。

核心思想

完全平方二項式 $(x + h)^2$ 展開後是 $x^2 + 2hx + h^2$。要把任意算式 $x^2 + bx$ 變成一個完全平方，你需要加上 $\left(\frac{b}{2}\right)^2$。訣竅就這麼多。

解題範例：二次項係數為 1 的情形

對 $x^2 + 6x + 5$ 配方。

1. 取一次項係數的一半：$b/2 = 3$。
2. 把它平方：$9$。
3. 重寫：$x^2 + 6x + 9 - 9 + 5 = (x + 3)^2 - 4$。

我們加了 9 又減了 9——淨增量為零，但前三項現在構成了一個完全平方。

解題範例：二次項係數不為 1 的情形

對 $2x^2 + 12x + 7$ 配方。

1. 從前兩項中提出因數 2：$2(x^2 + 6x) + 7$。
2. 在括號內配方：$x^2 + 6x + 9 - 9 = (x+3)^2 - 9$。
3. 代回去：$2((x+3)^2 - 9) + 7 = 2(x+3)^2 - 18 + 7 = 2(x+3)^2 - 11$。

應用 1：解二次方程式

要解 $x^2 + 6x + 5 = 0$：
$(x + 3)^2 - 4 = 0 \Rightarrow (x+3)^2 = 4 \Rightarrow x + 3 = \pm 2 \Rightarrow x = -1, -5$。

和二次公式一樣的答案，卻是從頭推導出來的。

應用 2：拋物線的頂點

$y = 2x^2 + 12x + 7 = 2(x + 3)^2 - 11$ 已經是頂點式 $y = a(x - h)^2 + k$。頂點在 $(h, k) = (-3, -11)$，開口向上（因為 $a > 0$）。無需微積分就能直接讀出。

應用 3：積分

像 $\int \frac{dx}{x^2 + 4x + 13}$ 這樣的積分，正面強攻行不通，但對配方法俯首稱臣：$x^2 + 4x + 13 = (x + 2)^2 + 9$，再代換 $u = x + 2$，就能認出一個反正切。

常見錯誤

• 忘記減去你加上的那一項——算式必須始終等於它自己。
• 在二次項係數不為 1 的情形裡沒有先提出最高次項係數。
• 把錯誤的係數取一半——取一半的是一次項係數 $b$，不是最高次項 $a$。

用 AI 二次方程式求解器試一試

二次方程式求解器會把配方法與二次公式並排展示出來。

相關參考：

• 因式分解計算器——通往根的另一條路徑
• 方程式求解器——更廣義的解方程式工具箱
• 積分計算器——用於上面的微積分應用