证明 tan(30 度) 等于根号 3 除以 3，并解释为什么答案不是根号 3。

Step-by-step solution

1. 1

   从正切的定义出发。 正切并不是一个需要单独背下来的数，它是一个比值：

   $\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}$

   所以 $\tan30^\circ$ 的精确值可以由正弦、余弦的精确值推出来。

2. 2

   回忆 30-60-90 三角形的边长比。 在角为 $30^\circ,60^\circ,90^\circ$ 的直角三角形中，三边之比是 $1:\sqrt3:2$，由此得到

   $\sin30^\circ=\frac{1}{2},\qquad \cos30^\circ=\frac{\sqrt3}{2}$

3. 3

   作商并约分。 分数相除就是乘以倒数：

   $\tan30^\circ=\frac{\tfrac12}{\tfrac{\sqrt3}{2}}=\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{\sqrt3}=\frac{1}{\sqrt3}$

   上下的 2 相互约掉，剩下 $\tfrac{1}{\sqrt3}$。

4. 4

   把分母有理化。 $\tfrac{1}{\sqrt3}$ 本身没错，只是习惯上不把根号留在分母上：

   $\frac{1}{\sqrt3}\cdot\frac{\sqrt3}{\sqrt3}=\frac{\sqrt3}{3}$

   所以 $\tan30^\circ=\tfrac{\sqrt3}{3}$，而且 $\tfrac{1}{\sqrt3}$ 与 $\tfrac{\sqrt3}{3}$ 是同一个数，不是两个不同的答案。

5. 5

   说清为什么容易和根号 3 弄混。 $\sqrt3$ 其实是 $\tan60^\circ$，因为在 $60^\circ$ 处两条直角边的角色互换了：$\tan60^\circ=\frac{\sin60^\circ}{\cos60^\circ}=\frac{\sqrt3/2}{1/2}=\sqrt3$。两者互为倒数：$\tan30^\circ\cdot\tan60^\circ=1$。

6. 6

   看一眼大小，问题立刻就清楚了。 $\tfrac{\sqrt3}{3}\approx0.5774$，小于 $\tan45^\circ=1$——这是对的，因为 $30^\circ<45^\circ$。而 $\sqrt3\approx1.732$ 大于 $1$，绝不可能是某个小于 $45^\circ$ 的角的正切值 ✓。