求 arccos(0.75) 的值，分别用度和弧度表示。

Step-by-step solution

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   先弄清题目在问什么。 $\cos^{-1}(0.75)$ 是满足 $\cos\theta=0.75$ 且 $0\le\theta\le\pi$ 的那个角 $\theta$——这是反余弦的主值范围；它和 arcsin 不同，是从 $0$ 到 $180^{\circ}$，而不是从 $-90^{\circ}$ 到 $90^{\circ}$。

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   先检查自变量，再粗估一下答案。 $\cos^{-1}$ 的定义域是 $[-1,1]$，$0.75$ 落在里面。由于 $\cos 0^{\circ}=1$、$\cos 60^{\circ}=0.5$，而 $0.75$ 夹在两者之间，答案必然介于 $0^{\circ}$ 与 $60^{\circ}$ 之间——而且更靠近 $45^{\circ}$，因为 $\cos 45^{\circ}\approx 0.707$。这个估计正是用来抓住「计算器模式设错了」的。

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   认清 $0.75$ 不对应任何特殊角。 它不像 $\tfrac12$、$\tfrac{\sqrt2}{2}$ 或 $\tfrac{\sqrt3}{2}$ 那样对应某个标准三角形，所以没有精确的闭式表达，这一步确实非用计算器不可。

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   先用度表示。

   $\cos^{-1}(0.75)=41.4096^{\circ}\approx 41.41^{\circ}$

   它落在 $0^{\circ}$ 与 $60^{\circ}$ 之间、又略小于 $45^{\circ}$，与前面的预判分毫不差。

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   再换算成弧度。 乘上 $\dfrac{\pi}{180}$：

   $41.4096\times\frac{\pi}{180}=0.7227\ \text{rad}$

   顺手检查：$0.7227$ 略小于 $\tfrac{\pi}{4}=0.7854$，与「这个角略小于 $45^{\circ}$」一致。反过来验算：$\cos(0.7227)=0.75000$ ✓。