在全体实数 θ 上解方程 tan θ = 1。

Step-by-step solution

1. 1

   从定义出发找参考角。 因为 $\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$，正切等于 $1$ 就意味着 $\sin\theta=\cos\theta$。在直角三角形里，这说的是对边与邻边相等 —— 也就是 $45^\circ$-$45^\circ$-$90^\circ$ 三角形。所以

   $\theta=45^\circ=\frac{\pi}{4}$

   是一个解，由 $\sin45^\circ=\cos45^\circ=\tfrac{\sqrt2}{2}$ 可以精确验证。

2. 2

   在一整圈内找出第二个解。 正切在第三象限也是正的：那里正弦和余弦都为负，但仍然相等 —— 在 $\theta=\tfrac{5\pi}{4}$ 处 $\sin=\cos=-\tfrac{\sqrt2}{2}$，所以 $\tan=1$ 又成立了。

3. 3

   认清周期是 π，不是 2π。 上面两个解之间正好相差 $\pi$。原因是把正弦和余弦同时取反并不改变它们的比值：$\tan(\theta+\pi)=\tan\theta$。所以正切每转半圈就重复一次 —— 这与需要 $2\pi$ 才重复的正弦、余弦不同。

4. 4

   把通解写成一族。 正因为周期是 $\pi$，两个基本解可以一次性都装进去：

   $\theta=\frac{\pi}{4}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}$

   取 $k=0$ 得 $\tfrac{\pi}{4}$，取 $k=1$ 得 $\tfrac{5\pi}{4}$。这里不需要第二族解 —— 这一点和 $\sin x=c$、$\cos x=c$ 有实质差别，后两者各自都要写两族。

5. 5

   再给出角度形式。

   $\theta=45^\circ+180^\circ k,\qquad k\in\mathbb{Z}$

   也就是 $45^\circ,\ 225^\circ,\ 405^\circ,\ -135^\circ,\ \ldots$

6. 6

   取若干 k 值验证。 对 $k=-3,\,0,\,1,\,5$ 分别计算 $\tan\left(\tfrac{\pi}{4}+k\pi\right)$，每次都得到 $1.000000$ ✓；而且这些角都没有落在 $\tfrac{\pi}{2}$ 的奇数倍上（那里正切无定义）✓。