求 sin(225°) 的精确值。

Step-by-step solution

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   先定出角在哪个象限。 因为 $180^\circ<225^\circ<270^\circ$，终边落在第三象限。在那里正弦和余弦都是负的（只有正切为正），所以答案必然带负号。

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   求参考角。 第三象限角的参考角，是它与 $x$ 轴负半轴之间的夹角：

   $225^\circ-180^\circ=45^\circ$

   参考角是 $45^\circ$，说明结果一定是某个精确的特殊值，用不着计算器。

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   回忆这个特殊值。 由两条直角边为 $1,1$、斜边为 $\sqrt2$ 的 $45^\circ$-$45^\circ$-$90^\circ$ 三角形可得：

   $\sin45^\circ=\frac{1}{\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{2}$

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   再把象限符号加上去。 大小由参考角决定，符号由象限决定：

   $\sin225^\circ=-\sin45^\circ=-\frac{\sqrt2}{2}$

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   用单位圆坐标交叉验证。 $225^\circ$ 对应的点是 $\left(-\tfrac{\sqrt2}{2},-\tfrac{\sqrt2}{2}\right)$，而正弦就是 $y$ 坐标 —— 确实是负的 ✓。数值上 $-\tfrac{\sqrt2}{2}=-0.70711$，直接算 $\sin(225^\circ)$ 得到 $-0.7071068$ ✓，小数点后七位都对得上。

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   顺便记下相关的几个值。 用同一个参考角可得 $\cos225^\circ=-\tfrac{\sqrt2}{2}$、$\tan225^\circ=+1$ —— 相除时两个负号抵消了，这正是第三象限正切为正的原因。