把 y = sin(2x + π/6) 的图像向左平移 π/12 个单位，写出新图像的解析式。

Step-by-step solution

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   先回忆水平平移的规则。 图像向左平移 $h$ 个单位，就是把式子里的 $x$ 通通换成 $x+h$；向右平移则换成 $x-h$。方向之所以让人觉得是反的，恰恰是因为向左移动意味着函数要在更小的 $x$ 处就取到同一个函数值。

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   作代换 $x\to x+\dfrac{\pi}{12}$。 取 $h=\tfrac{\pi}{12}$：

   $y=\sin\!\left(2\left(x+\frac{\pi}{12}\right)+\frac{\pi}{6}\right).$

   代换要作用在整个自变量表达式上，所以系数 $2$ 也会乘到平移量上——答案不再显然，就是从这里开始的。

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   把括号里的式子展开。 把 $2$ 分配进去：

   $2\left(x+\frac{\pi}{12}\right)=2x+\frac{2\pi}{12}=2x+\frac{\pi}{6},$

   于是整个自变量表达式变成

   $2x+\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{6}=2x+\frac{\pi}{3}.$

   可见平移 $\tfrac{\pi}{12}$ 让相位改变了 $\tfrac{\pi}{6}$——是平移量的两倍，因为角频率是 $2$。

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   写出新的解析式。

   $y=\sin\!\left(2x+\frac{\pi}{3}\right).$

   振幅（$1$）和周期（$\tfrac{2\pi}{2}=\pi$）都没变，动的只有相位——纯平移本来就该如此。

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   取两个点检验。 取 $x=0.3$：平移后的原式给出 $\sin\!\left(2(0.3+\tfrac{\pi}{12})+\tfrac{\pi}{6}\right)=0.9970828$，答案给出 $\sin\!\left(0.6+\tfrac{\pi}{3}\right)=0.9970828$ ✓。取 $x=1.1$ 时两边都是 $-0.1054087$ ✓。方向上还有一个好用的交叉验证：把原式写成 $\sin\!\left(2\left(x+\tfrac{\pi}{12}\right)\right)$ 就能看出它自身相对左移了 $\tfrac{\pi}{12}$，因此新图像相对 $\sin 2x$ 一共左移了 $\tfrac{\pi}{6}$。