在区间 [−π, π] 上解不等式 2cos(x) + √3 ≥ 0。

Step-by-step solution

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   先把余弦单独留在一边。 两边减去 $\sqrt3$ 再除以正数 $2$，不等号方向不变：

   $\cos x\ge-\frac{\sqrt3}{2}.$

   因为 $-\tfrac{\sqrt3}{2}\approx-0.866$ 落在 $[-1,1]$ 之内，解集必然是一个货真价实的子区间——既不是空集，也不是整个区间。

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   求出两个边界角。 方程 $\cos x=-\tfrac{\sqrt3}{2}$ 的参考角是 $\tfrac{\pi}{6}$，而余弦在第二、第三象限为负，所以在 $[-\pi,\pi]$ 上的解是

   $x=\frac{5\pi}{6}\quad\text{和}\quad x=-\frac{5\pi}{6}.$

   余弦是偶函数，因此在关于原点对称的区间上，它的边界角总是成 $\pm$ 对出现。

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   判断该保留边界的哪一侧。 在 $[-\pi,\pi]$ 上，余弦在正中间取最大值 $\cos0=1$，在两个端点取最小值 $\cos(\pm\pi)=-1$。所以 $\cos x\ge-\tfrac{\sqrt3}{2}$ 成立的，是两个边界角之间中间那一段，而不是外侧的两截：

   $-\frac{5\pi}{6}\le x\le\frac{5\pi}{6}.$

4. 4

   端点要算进去。 不等号是非严格的，而在 $x=\pm\tfrac{5\pi}{6}$ 处式子的值恰好是 $2\left(-\tfrac{\sqrt3}{2}\right)+\sqrt3=0$，满足 $\ge0$。所以两个边界角都属于解集，区间是闭的。

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   在边界两侧各取一点试算。 取 $x=2.6180\approx\tfrac{5\pi}{6}$：$2\cos x+\sqrt3=0$ ✓（含在解集内）。取刚好落在外侧的 $x=2.7$：$2\cos(2.7)+\sqrt3=2(-0.9040721)+1.7320508=-0.0760935<0$ ✓（不在解集内），由对称性 $x=-2.7$ 处结果相同。再取正中间的 $x=0$：$2+\sqrt3=3.73>0$ ✓。