解方程 4 × cos(x) × cos(x) − 3 = 0，并写出通解。

Step-by-step solution

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   先把记号读对。 两个余弦因子之间的符号是乘号，不是变量，所以这个式子是 $4\cos x\cdot\cos x=4\cos^{2}x$，方程即

   $4\cos^{2}x-3=0.$

   把重复出现的因子写成平方，正是让方程变成关于 $\cos x$ 的普通一元二次方程的那一步。

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   把 $\cos^{2}x$ 分离出来。 两边加 $3$ 再除以 $4$：

   $\cos^{2}x=\frac34.$

   数值 $\tfrac34$ 落在 $[0,1]$ 内，所以实数解存在。若右边超过 $1$，方程就无解。

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   开平方时正负两支都要取。 由 $\cos^{2}x=\tfrac34$ 得

   $\cos x=\pm\frac{\sqrt3}{2}.$

   对应 $\tfrac{\sqrt3}{2}$ 的参考角是 $\tfrac{\pi}{6}$（$30^{\circ}$）。把负的那一支丢掉就少了一半解 —— 这是非常常见的失手。

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   先列出一个整周期内的基本角。 对 $\cos x=+\tfrac{\sqrt3}{2}$：$x=\tfrac{\pi}{6}$ 与 $x=\tfrac{11\pi}{6}$。对 $\cos x=-\tfrac{\sqrt3}{2}$：$x=\tfrac{5\pi}{6}$ 与 $x=\tfrac{7\pi}{6}$。每个 $2\pi$ 周期里有四个解，关于两条坐标轴都对称。

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   合并成两族简洁的通解。 这四个角就是 $\pm\tfrac{\pi}{6}$ 和 $\pm\tfrac{\pi}{6}+\pi$，所以通解是

   $x=\pm\frac{\pi}{6}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.$

   验算：$4\cos^{2}\!\left(\tfrac{\pi}{6}\right)-3=4\cdot\tfrac34-3=0$ ✓，在 $\tfrac{5\pi}{6}$ 与 $\tfrac{7\pi}{6}$ 处同样成立 ✓。周期是 $\pi$ 而不是 $2\pi$，是因为 $x$ 增加 $\pi$ 时 $\cos^{2}$ 的值不变。