a 取哪些值时，y = sin(x + π/4 + a) 是奇函数？

Step-by-step solution

1. 1

   写出奇函数的条件。 函数为奇函数，是指对每一个 $x$ 都有 $f(-x)=-f(x)$。把常数并成一个相位 $c=\tfrac{\pi}{4}+a$，函数就是 $f(x)=\sin(x+c)$，问题于是变成：$c$ 取何值时 $\sin(x+c)$ 是奇函数？

2. 2

   找出哪些相位能保住奇性。 单纯的 $\sin x$ 是奇函数，而加上 $\pi$ 的整数倍并不破坏这一点：

   $\sin(x+k\pi)=(-1)^{k}\sin x,$

   结果是 $\pm\sin x$——仍然是奇函数。其它相位都会掺进余弦，因为 $\sin(x+c)=\sin x\cos c+\cos x\sin c$，其中 $\cos x\sin c$ 这一部分是偶的，除非 $\sin c=0$，否则对称性就被破坏了。

3. 3

   再确认这个条件也是必要的。 在 $x=0$ 处检验：奇函数必须满足 $f(0)=-f(0)$，因此 $f(0)=0$。而这里 $f(0)=\sin c$，所以 $\sin c=0$，于是

   $c=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.$

   仅凭 $x=0$ 这一个点就足以把条件完全钉死，而上一步已经说明了它同时也是充分的。

4. 4

   解出 $a$。 由 $c=\tfrac{\pi}{4}+a=k\pi$ 得

   $a=k\pi-\frac{\pi}{4},\qquad k\in\mathbb{Z}.$

   最小的正值取 $k=1$，即 $a=\tfrac{3\pi}{4}$；取 $k=0$ 得 $a=-\tfrac{\pi}{4}$，此时函数又变回了纯粹的 $\sin x$。

5. 5

   做数值验证。 取 $a=\tfrac{3\pi}{4}$ 时函数是 $\sin(x+\pi)=-\sin x$。在 $x=0.7$ 处检验奇性：$f(0.7)+f(-0.7)=2\times10^{-16}\approx0$ ✓。作为对照，$a=0$ 时函数是 $\sin\!\left(x+\tfrac{\pi}{4}\right)$，此时 $f(0)=\tfrac{\sqrt2}{2}\ne0$，所以它既不是奇函数也不是偶函数。