解方程 arcsin x + arcsin 2x = π/2。

Step-by-step solution

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   先把定义域定下来。 两个反正弦都必须有意义，所以要求 $-1\le x\le1$ 且 $-1\le2x\le1$。后一个条件更严，于是

   $-\tfrac12\le x\le\tfrac12.$

   落在这个区间之外的候选值一律无效，无论代数运算算出什么。

2. 2

   把一个反正弦单独留下，然后两边取正弦。 移项后再作用 $\sin$：

   $\arcsin(2x)=\frac{\pi}{2}-\arcsin(x)\;\Longrightarrow\;2x=\sin\!\left(\frac{\pi}{2}-\arcsin x\right)=\cos(\arcsin x).$

   正是余角关系 $\sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}-\theta\right)=\cos\theta$ 让右边变得好处理。

3. 3

   把 $\cos(\arcsin x)$ 换成代数式。 令 $\theta=\arcsin x$，则 $\sin\theta=x$ 且 $\theta\in\left[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right]$ —— 在这个区间上 $\cos\theta\ge0$。所以开方要取正号：

   $\cos(\arcsin x)=\sqrt{1-x^{2}},$

   方程于是变成 $2x=\sqrt{1-x^{2}}$。

4. 4

   平方之前先把符号条件拿出来。 根号永不为负，所以 $2x\ge0$，即 $x\ge0$。现在就把它记下来，才能保证平方之后不会漏掉增根。两边平方：

   $4x^{2}=1-x^{2}\;\Longrightarrow\;5x^{2}=1\;\Longrightarrow\;x=\pm\frac{1}{\sqrt5}.$

5. 5

   挑出根并验证。 条件 $x\ge0$ 淘汰了负值，剩下

   $x=\frac{1}{\sqrt5}=\frac{\sqrt5}{5}\approx0.4472,$

   它也确实落在定义域 $\left[-\tfrac12,\tfrac12\right]$ 里 ✓。直接验算：$\arcsin(0.4472)=0.46365$，$\arcsin(0.8944)=1.10715$，两者之和 $0.46365+1.10715=1.57080=\tfrac{\pi}{2}$ ✓。被舍去的根 $x=-\tfrac{1}{\sqrt5}$ 算出来是 $-\tfrac{\pi}{2}$，不符合要求。