判断对错：tan(π) = 0，并说明理由。

Step-by-step solution

1. 1

   先把角换个说法。 因为 $\pi$ 弧度 $=180^{\circ}$，题目问的其实是转半圈所对应的正切值——单位圆上的点 $(-1,0)$，落在 $x$ 轴的负半轴上。

2. 2

   用商数关系。 按定义，

   $\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta},$

   所以 $\tan\pi$ 的值完全由那个点的坐标决定：$\sin\pi$ 是它的纵坐标，$\cos\pi$ 是它的横坐标。

3. 3

   读出这两个坐标。 在 $\theta=\pi$ 处，

   $\sin(\pi)=0,\qquad \cos(\pi)=-1.$

   正弦为零，是因为这个点正好落在水平轴上；余弦为 $-1$，是因为这个点在原点左边一个单位处。

4. 4

   做除法，并确认分母不为零。 代入得

   $\tan(\pi)=\frac{0}{-1}=0.$

   所以这个说法是对的。分母为负并不会让答案变成负数——零除以任何非零数都是零，不带任何符号。

5. 5

   对照一下正切失效的情形。 正切无定义的地方恰好是 $\cos\theta=0$ 之处，也就是 $\theta=\tfrac{\pi}{2}+k\pi$；那里的商会是非零数除以零。而它的零点在 $\sin\theta=0$ 处，即 $\theta=k\pi$——所以 $\tan0=\tan\pi=\tan2\pi=0$，而且 $\tan$ 的周期是 $\pi$ 而不是 $2\pi$。