解方程 sin(x) × sin(x) = 1/2，并写出通解。

Step-by-step solution

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   先把乘积写成平方。 左边是 $\sin x$ 自己乘自己，所以

   $\sin^{2}x=\frac12.$

   这样改写很关键，因为它让下一步 —— 开平方要带两个符号 —— 变得一目了然。

2. 2

   开平方，正负号都要留。 由 $\sin^{2}x=\tfrac12$ 得

   $\sin x=\pm\frac{1}{\sqrt2}=\pm\frac{\sqrt2}{2}.$

   只取正的那一支就会丢掉一半的解。$\tfrac{\sqrt2}{2}$ 对应的参考角是 $\tfrac{\pi}{4}$（也就是 $45^{\circ}$），所以全部解都落在与坐标轴成 $45^{\circ}$ 的方向上。

3. 3

   按象限写出四族解。 当 $\sin x=+\tfrac{\sqrt2}{2}$ 时，$[0,2\pi)$ 内的解是 $\tfrac{\pi}{4}$ 和 $\tfrac{3\pi}{4}$；当 $\sin x=-\tfrac{\sqrt2}{2}$ 时是 $\tfrac{5\pi}{4}$ 和 $\tfrac{7\pi}{4}$。各自加上 $2k\pi$，得

   $x=\frac{\pi}{4}+2k\pi,\ \frac{3\pi}{4}+2k\pi,\ \frac{5\pi}{4}+2k\pi,\ \frac{7\pi}{4}+2k\pi.$

4. 4

   把四族并成一族。 四个基准角 $\tfrac{\pi}{4},\tfrac{3\pi}{4},\tfrac{5\pi}{4},\tfrac{7\pi}{4}$ 是等间距的，两两相差 $\tfrac{\pi}{2}$，所以整个解集可以收缩成一个等差的族：

   $x=\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2},\qquad k\in\mathbb{Z}\quad(45^{\circ}+90^{\circ}k).$

   这种紧凑写法不但好写，而且当这个方程只是更大问题里的一环时，用起来要方便得多。

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   用二倍角公式交叉验证。 因为 $\sin^{2}x=\frac{1-\cos 2x}{2}$，原方程等价于

   $\frac{1-\cos 2x}{2}=\frac12\;\Longrightarrow\;\cos 2x=0\;\Longrightarrow\;2x=\frac{\pi}{2}+k\pi\;\Longrightarrow\;x=\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2}.$

   走公式这条路直接就得到了合并后的那一族，独立地确认了答案 ✓。