证明恒等式 1/cot²A + 1/(1 + tan²A) = 1/(1 − sin²A) − 1/csc²A。

Step-by-step solution

1. 1

   先定策略：两边分别往正弦、余弦上化。 两边谁也没有明显更简单，所以与其把一边硬凑成另一边，不如各自独立化简，最后说明两个结果一致。这里用到的每一块要么是倒数关系式，要么是平方关系式。

2. 2

   化简左边。 由 $\cot A=1/\tan A$，第一项是

   $\frac{1}{\cot^{2}A}=\tan^{2}A.$

   至于第二项，用平方关系式 $1+\tan^{2}A=\sec^{2}A$ 得

   $\frac{1}{1+\tan^{2}A}=\frac{1}{\sec^{2}A}=\cos^{2}A.$

   所以左边等于 $\tan^{2}A+\cos^{2}A$。

3. 3

   化简右边。 由 $\sin^{2}A+\cos^{2}A=1$ 得 $1-\sin^{2}A=\cos^{2}A$，于是

   $\frac{1}{1-\sin^{2}A}=\frac{1}{\cos^{2}A}=\sec^{2}A,$

   又因为 $\csc A=1/\sin A$，

   $\frac{1}{\csc^{2}A}=\sin^{2}A.$

   所以右边等于 $\sec^{2}A-\sin^{2}A$。

4. 4

   把两个形式接上。 对右边用 $\sec^{2}A=1+\tan^{2}A$：

   $\sec^{2}A-\sin^{2}A=1+\tan^{2}A-\sin^{2}A=\tan^{2}A+\bigl(1-\sin^{2}A\bigr)=\tan^{2}A+\cos^{2}A.$

   这与左边完全一致，恒等式得证。

5. 5

   说明成立范围，并代一个值检验。 该恒等式要求 $\cot A$、$\tan A$、$\csc A$ 都有意义且 $\cot A\ne0$，即 $A$ 不是 $\pi/2$ 的整数倍。取 $A=\pi/3$：左边是 $\tan^{2}=3$ 加上 $\cos^{2}=1/4$，得 $3.25$；右边是 $\sec^{2}=4$ 减去 $\sin^{2}=3/4$，也得 $3.25$ ✓。