化简 arctan x 与 arctan(1/x) 的和。

Step-by-step solution

1. 1

   先把定义域定下来。 $\frac1x$ 要求 $x\neq 0$，所以式子只在 $(-\infty,0)\cup(0,\infty)$ 上有定义——它由分开的两段组成，这本身就在暗示两段上的答案可能不一样。

2. 2

   情形 $x>0$：利用互余角。 令 $\theta=\arctan x$，于是 $\theta\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$ 且 $\tan\theta=x$。那么

   $\tan\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)=\cot\theta=\frac1x$

   而 $\frac{\pi}{2}-\theta$ 同样落在 $\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$ 里，这恰好在 $\arctan$ 的主值范围内。因此 $\arctan\frac1x=\frac{\pi}{2}-\theta$，从而

   $\arctan x+\arctan\frac1x=\frac{\pi}{2}$

3. 3

   情形 $x<0$：用奇偶性，不必重做一遍。 此时 $x<0$ 且 $\frac1x<0$，两个反正切都是负数，它们的和不可能是 $+\frac{\pi}{2}$。把上一步的结论用在 $-x>0$ 上，再配合 $\arctan(-t)=-\arctan t$：

   $\arctan(-x)+\arctan\left(-\tfrac1x\right)=\frac{\pi}{2}\ \Rightarrow\ -\left(\arctan x+\arctan\tfrac1x\right)=\frac{\pi}{2}$

   所以这个和等于 $-\frac{\pi}{2}$。

4. 4

   看看为什么光靠正切和角公式还不够。 记 $A=\arctan x$，$B=\arctan\frac1x$，则

   $\tan(A+B)=\frac{x+\frac1x}{1-x\cdot\frac1x}=\frac{x+\frac1x}{0}$

   它是无定义的。这只能告诉我们 $A+B$ 是 $\frac{\pi}{2}$ 的奇数倍；到底是哪一个，还得靠上面的值域讨论来定。

5. 5

   合并成一个公式。

   $\arctan x+\arctan\frac1x=\frac{\pi}{2}\operatorname{sgn}(x),\qquad x\neq 0$

   这个函数在每条半直线上都是常数，并在 $x=0$ 处整整跳了 $\pi$——它绝对不是恒等于 $\frac{\pi}{2}$。

6. 6

   做数值检验。 取 $x=2$：$\arctan 2=1.1071487$，$\arctan 0.5=0.4636476$，两者之和是 $1.5707963=\frac{\pi}{2}$ ✓。取 $x=-2$ 时两个值都变号，和为 $-1.5707963=-\frac{\pi}{2}$ ✓。