化简 sin(2x + π/2) + 5。

Step-by-step solution

1. 1

   先确定要用哪个公式。 相位平移四分之一周期可以把正弦变成余弦：

   $\sin\!\left(\theta+\frac{\pi}{2}\right)=\cos\theta$

   它可以由和角公式直接推出：$\sin\theta\cos\tfrac{\pi}{2}+\cos\theta\sin\tfrac{\pi}{2}=\sin\theta\cdot0+\cos\theta\cdot1=\cos\theta$。

2. 2

   套公式时要对准。 这里括号内的整个表达式是 $2x+\tfrac{\pi}{2}$，所以 $\theta=2x$ —— 是整个 $2x$，不是单独的 $x$。代入得

   $\sin\!\left(2x+\frac{\pi}{2}\right)=\cos(2x)$

   常见的错误是写成 $\cos\!\left(x+\tfrac{\pi}{2}\right)$ 或 $2\cos x$。

3. 3

   常数项不用管。 $+5$ 在三角函数外面，任何诱导公式都碰不到它：

   $\sin\!\left(2x+\frac{\pi}{2}\right)+5=\cos(2x)+5$

4. 4

   从化简后的形式直接读出各项性质。 写成 $\cos(2x)+5$ 后，振幅为 $1$，周期为 $\tfrac{2\pi}{2}=\pi$，中线是 $y=5$，值域是 $[4,6]$。这些在化简之后一眼就能看出来，化简之前却要费劲推 —— 这正是化简的意义。

5. 5

   注意化简同时也把相位平移消掉了。 原式在 $x$ 上有 $-\tfrac{\pi}{4}$ 的水平平移（因为 $2x+\tfrac{\pi}{2}=2\left(x+\tfrac{\pi}{4}\right)$）；改写成余弦后这个平移被完全吸收，相位平移变成零。

6. 6

   数值验证。 在 $[-9,9]$ 上随机取 $40$ 个 $x$ 值，比较 $\sin\!\left(2x+\tfrac{\pi}{2}\right)+5$ 与 $\cos(2x)+5$，每个点都在机器精度内一致 ✓。