在三角形 ABC 中，(cos B + cos A cos C)/(sin B cos C) = a√3/b，且 a = 3，c = 2√3。求 sin A。

Step-by-step solution

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   用三角形内角和把 $\cos B$ 换掉。 任意三角形都有 $A+B+C=\pi$，所以 $B=\pi-(A+C)$，于是

   $\cos B=\cos\!\left(\pi-(A+C)\right)=-\cos(A+C)=-\left(\cos A\cos C-\sin A\sin C\right).$

   只要一个三角恒等式把三个角混在一起，这一步换元都是标准的第一招。

2. 2

   把分子化简。 加上 $\cos A\cos C$ 之后，两个 $\cos A\cos C$ 恰好抵消：

   $\cos B+\cos A\cos C=-\cos A\cos C+\sin A\sin C+\cos A\cos C=\sin A\sin C.$

   于是等式左边变成

   $\frac{\sin A\sin C}{\sin B\cos C}=\frac{\sin A}{\sin B}\cdot\tan C.$

3. 3

   用正弦定理去对上等式右边。 由 $\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}$ 得 $\dfrac{\sin A}{\sin B}=\dfrac{a}{b}$，于是条件化为

   $\frac{a}{b}\tan C=\frac{a\sqrt3}{b}.$

   边长都是正数，因子 $\dfrac{a}{b}$ 可以约掉，得

   $\tan C=\sqrt3\ \Longrightarrow\ C=\frac{\pi}{3}=60^{\circ},$

   这是 $0<C<\pi$ 且 $\cos C\ne 0$ 范围内唯一的解。注意：题给的恒等式只确定了 $C$——这一部分完全没有用到边长数据。

4. 4

   再对已知的一对 $(c,C)$ 用正弦定理。

   $\frac{a}{\sin A}=\frac{c}{\sin C}\ \Longrightarrow\ \sin A=\frac{a\sin C}{c}=\frac{3\cdot\frac{\sqrt3}{2}}{2\sqrt3}=\frac{3\sqrt3}{4\sqrt3}=\frac{3}{4}.$

5. 5

   验证三角形确实存在且唯一。 由 $a=3<c=2\sqrt3\approx 3.464$ 可知角 $A$ 小于 $C=60^{\circ}$，所以 $A=\arcsin\tfrac34\approx 48.59^{\circ}$，而钝角解 $131.41^{\circ}$ 不可能（那样就装不下 $C$ 了）。于是 $B\approx 71.41^{\circ}$，$b=\dfrac{c\sin B}{\sin C}\approx 3.7913=\dfrac{3+\sqrt{21}}{2}$；把这些值代回原式，两边都等于 $1.37055$。