化简 √(1 + tan²α · sin²β)。

Step-by-step solution

1. 1

   别条件反射地去用 $1+\tan^2=\sec^2$。 这个恒等式要求 tan 项单独出现；这里它还乘着 $\sin^2\beta$，所以 $1+\tan^{2}\alpha\sin^{2}\beta$ 并不等于 $\sec^{2}\alpha\sin^{2}\beta$，也化不成那么整齐的东西。稳妥的路线是全换成正弦余弦，再通分合并。

2. 2

   把切函数换掉。 由 $\tan\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$，

   $1+\tan^{2}\alpha\sin^{2}\beta=1+\frac{\sin^{2}\alpha\sin^{2}\beta}{\cos^{2}\alpha}$

3. 3

   通分到公分母 $\cos^{2}\alpha$。

   $=\frac{\cos^{2}\alpha+\sin^{2}\alpha\sin^{2}\beta}{\cos^{2}\alpha}$

   正是先化成单个分式，下一步的根号才能干净地拆开。

4. 4

   开平方，并保留绝对值。 因为 $\sqrt{\cos^{2}\alpha}=\left|\cos\alpha\right|$（不是 $\cos\alpha$，它可能取负值）：

   $\sqrt{1+\tan^{2}\alpha\sin^{2}\beta}=\frac{\sqrt{\cos^{2}\alpha+\sin^{2}\alpha\sin^{2}\beta}}{\left|\cos\alpha\right|}$

5. 5

   用勾股恒等式化简分子。 把 $\cos^{2}\alpha=1-\sin^{2}\alpha$ 代入并提公因式：

   $\cos^{2}\alpha+\sin^{2}\alpha\sin^{2}\beta=1-\sin^{2}\alpha\left(1-\sin^{2}\beta\right)=1-\sin^{2}\alpha\cos^{2}\beta$

   于是得到一个等价、也更对称的写法

   $\frac{\sqrt{1-\sin^{2}\alpha\cos^{2}\beta}}{\left|\cos\alpha\right|}$

6. 6

   代数值检验。 取 $\alpha=0.9,\ \beta=2.1$，原式算得 $1.477588$，两个化简形式也都是 $1.477588$ ✓。第二种写法还让取值范围一目了然：分子介于 $\left|\cos\alpha\right|$ 和 $1$ 之间，所以整个式子永远不小于 $1$。