已知 sin(θ) = 0.67，求角 θ 的度数和弧度。

Step-by-step solution

1. 1

   用反正弦把正弦「解开」。

   $\theta=\sin^{-1}(0.67)$

   反正弦返回的是 $[-90^\circ,90^\circ]$ 内唯一那个正弦值等于给定数的角。

2. 2

   先确认取值在允许范围内。 $|0.67|\le1$，所以确实存在这样的实角。

3. 3

   先把答案圈定在一个区间里。 $\sin30^\circ=0.5$，$\sin45^\circ\approx0.7071$。因为 $0.5<0.67<0.7071$，这个角必然在 $30^\circ$ 与 $45^\circ$ 之间，且更靠近 $45^\circ$。谁要是算出 $0.73$，那是计算器停在弧度模式上了。

4. 4

   算出度数。

   $\theta=\sin^{-1}(0.67)=42.0671^\circ\approx42.07^\circ$

   落在刚才圈定的区间内，而且略小于 $45^\circ$ ✓。

5. 5

   换算成弧度。

   $42.0671\times\frac{\pi}{180}=0.7342\ \text{rad}$

   略小于 $\tfrac{\pi}{4}=0.7854$，与「角略小于 $45^\circ$」正好吻合。

6. 6

   说明 0.67 不是特殊值，再做验算。 它不像 $\tfrac12$、$\tfrac{\sqrt2}{2}$ 或 $\tfrac{\sqrt3}{2}$ 那样对应某个标准三角形，所以没有精确的闭式表达，确实必须用计算器。反过来验算：$\sin(0.7342088)=0.670000$ ✓。