求 arccos(−√3/2) 的精确值。

Step-by-step solution

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   先记牢 arccos 的值域——这道题考的全部就是它。 $\arccos x$ 返回的是唯一满足

   $\cos\theta=x\qquad\text{且}\qquad 0\le\theta\le\pi$

   的那个角 $\theta$。与值域为 $[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}]$ 的 $\arcsin$ 不同，$\arccos$ 从不返回负角。所以尽管 $\cos(-\tfrac{\pi}{6})=+\tfrac{\sqrt3}{2}$，$-\tfrac{\pi}{6}$ 在这里也不是合法答案。

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   先由绝对值定出参考角。 撇开符号不看，$\tfrac{\sqrt3}{2}$ 是一个特殊值：

   $\cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt3}{2}\ \Longrightarrow\ \text{参考角}=\frac{\pi}{6}\ (30^{\circ})$

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   把角放进正确的象限。 余弦在 $(\tfrac{\pi}{2},\pi)$ 上为负——也就是第二象限——这正是 arccos 值域里唯一能取到负余弦值的一段。以 $\tfrac{\pi}{6}$ 为参考角的第二象限角是

   $\pi-\frac{\pi}{6}=\frac{5\pi}{6}$

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   确认值域条件。 $\tfrac{5\pi}{6}=150^{\circ}$ 满足 $0\le\tfrac{5\pi}{6}\le\pi$ ✓，所以它就是主值。

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   再取一次余弦来验证。

   $\cos\frac{5\pi}{6}=-\cos\frac{\pi}{6}=-\frac{\sqrt3}{2}$

   数值上 $\cos(2.617994)=-0.8660254$，而 $-\tfrac{\sqrt3}{2}=-0.8660254$ ✓。