若 y = arcsin(√3/2)，求 y。

Step-by-step solution

1. 1

   先说清反正弦到底返回什么。 $\sin^{-1}(a)$ 是唯一满足

   $\sin y=a\qquad\text{且}\qquad -\frac{\pi}{2}\le y\le\frac{\pi}{2}$

   的那个角 $y$。正是这个值域限制，才让反函数成其为函数；不加限制的话，答案会有无穷多个。

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   先确认自变量在定义域内。 $\sin^{-1}$ 的定义域是 $[-1,1]$，而 $\dfrac{\sqrt3}{2}\approx 0.8660$ 落在其中，所以答案确实存在。

3. 3

   回忆特殊角的值。 由 $30$-$60$-$90$ 直角三角形（或者单位圆）可知

   $\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2}$

   值得背下来的是这三个：$\sin\frac\pi6=\frac12$、$\sin\frac\pi4=\frac{\sqrt2}{2}$、$\sin\frac\pi3=\frac{\sqrt3}{2}$——分母相同，分子依次变大。

4. 4

   确认这个候选角落在主值区间里。 因为 $0<\dfrac{\pi}{3}<\dfrac{\pi}{2}$，所以 $\tfrac\pi3$ 是合格的，于是

   $y=\frac{\pi}{3}=60^{\circ}$

5. 5

   说清哪一个答案是被刻意排除的。 $\sin\dfrac{2\pi}{3}$ 同样等于 $\dfrac{\sqrt3}{2}$，而且对每个整数 $k$，$\sin\left(\frac{\pi}{3}+2\pi k\right)$ 也都等于它。这些角都能解方程 $\sin y=\frac{\sqrt3}{2}$，但只有 $\tfrac\pi3$ 才是 $\sin^{-1}$ 的函数值。把「解 $\sin y=a$」和「求 $\sin^{-1}a$」混为一谈，正是这里最典型的错误。