求 tan(7 度) 的值，保留四位小数。

Step-by-step solution

1. 1

   先把角化成弧度。 乘以 $\tfrac{\pi}{180}$：

   $7^\circ=0.1221730\ \text{rad}$

2. 2

   用小角度的性质预判答案。 当弧度制下的 $x$ 很小时 $\tan x\approx x$，所以结果应该略大于 $0.1222$。修正项是三次的：

   $\tan x\approx x+\frac{x^3}{3}$

3. 3

   代入这个展开式。 取 $x=0.1221730$，$x^3=0.00182357$，于是

   $\tan x\approx 0.1221730+0.0006079=0.1227809$

   这已经精确到五位小数了，因为下一项的量级是 $x^5\approx 3\times 10^{-5}$ 再乘上 $\tfrac{2}{15}$。

4. 4

   再用商的定义交叉验证。 $\tan\theta=\tfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$，而 $\sin 7^\circ\approx 0.1218693$，$\cos 7^\circ\approx 0.9925462$：

   $\frac{0.1218693}{0.9925462}\approx 0.1227846$

5. 5

   四舍五入并确认。 保留四位小数得

   $\tan(7^\circ)\approx 0.1228$

   直接计算给出 $0.12278456$ $\checkmark$。注意它比 $\sin 7^\circ$ 大，这是必然的：除以一个小于 $1$ 的 $\cos 7^\circ$ 只会让数值变大。