求 tan(4.2π) 的精确值。

Step-by-step solution

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   用正切的周期，它是 $\pi$ 而不是 $2\pi$。 和正弦、余弦不同，正切每转半圈就重复一次：

   $\tan(\theta+k\pi)=\tan\theta\quad\text{对任意整数 }k$

   这里若用 $2\pi$ 当周期也不算错，只是会剩下更多要化简的东西。

2. 2

   把 $\pi$ 的整数倍拆出去。 写成 $4.2=4+0.2$：

   $\tan(4.2\pi)=\tan(4\pi+0.2\pi)=\tan(0.2\pi)$

   因为 $4\pi$ 恰好是四个完整周期。

3. 3

   把剩下的角化成熟悉的形式。

   $0.2\pi=\frac{\pi}{5}=36^\circ$

   于是问题归结为求 $\tan 36^\circ$。

4. 4

   写出这个正五边形角的精确值。 $36^\circ$ 与正五边形、黄金分割紧密相关，它的正切有闭式的根式表达：

   $\tan\frac{\pi}{5}=\sqrt{5-2\sqrt5}$

5. 5

   数值验证。 $\sqrt5\approx 2.236068$，所以 $5-2\sqrt5\approx 0.527864$，它的平方根 $\approx 0.726543$。直接求值得到 $\tan(4.2\pi)\approx 0.7265425$ $\checkmark$。结果为正，与 $\tfrac{\pi}{5}$ 落在第一象限相符。