求 arctan(1/2) 的值，分别用弧度和度表示。

Step-by-step solution

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   先说清楚这个反函数到底在找什么。 $\arctan\left(\tfrac12\right)$ 是唯一满足

   $\tan\theta=\frac{1}{2},\qquad -\frac{\pi}{2}<\theta<\frac{\pi}{2}$

   的那个角 $\theta$。正是这个主值范围让答案唯一——正切等于 $\tfrac12$ 的角其实有无穷多个，彼此相差 $\pi$ 的整数倍。

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   动手算之前先把答案框住。 因为 $\tan 0=0$、$\tan\tfrac{\pi}{4}=1$，而正切在这一段上递增，所以这个角必然满足 $0<\theta<\tfrac{\pi}{4}=45^\circ$。它是正的，因为 $\tfrac12>0$。

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   认清它没有特殊角形式。 正切等于 $\tfrac12$ 并不对应 $30^\circ$、$45^\circ$、$60^\circ$ 这些标准三角形中的任何一个，所以答案是无理数，只能给出数值：

   $\arctan\left(\frac{1}{2}\right)\approx 0.4636476\ \text{rad}$

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   换算成度。 乘上 $\tfrac{180}{\pi}$：

   $0.4636476\times\frac{180}{\pi}\approx 26.5651^\circ$

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   反过来取正切来验证。 $\tan(0.4636476)=0.5000000$ $\checkmark$，而且这个值确实落在预判的范围 $0<26.565^\circ<45^\circ$ 之内 $\checkmark$。从几何上看，它就是两条直角边分别为 $1$ 和 $2$ 的直角三角形里的那个锐角，斜边为 $\sqrt5$。