求 cos(225 度) 的精确值。

Step-by-step solution

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   先确定这个角落在哪个象限。 $180^\circ<225^\circ<270^\circ$，所以终边在第三象限，那里单位圆上点的两个坐标都是负的。余弦读的是 $x$ 坐标，所以答案必然为负。

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   求参考角。 在第三象限，参考角就是超过 $180^\circ$ 的那一部分：

   $225^\circ-180^\circ=45^\circ$

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   用第三象限的诱导公式。 也就是 $\cos(180^\circ+\theta)=-\cos\theta$：

   $\cos 225^\circ=\cos(180^\circ+45^\circ)=-\cos 45^\circ$

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   代入特殊角的值。

   $\cos 45^\circ=\frac{\sqrt2}{2}\quad\Longrightarrow\quad \cos 225^\circ=-\frac{\sqrt2}{2}$

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   做数值检验，并对照符号规律。 $-\tfrac{\sqrt2}{2}\approx-0.7071068$，直接计算 $\cos 225^\circ$ 也得 $-0.7071068$ $\checkmark$。负号与第三象限的判断一致；另外 $225^\circ$ 换成弧度是 $\tfrac{5\pi}{4}$，对应单位圆上的点 $\left(-\tfrac{\sqrt2}{2},-\tfrac{\sqrt2}{2}\right)$。