求 sin(20°) 的值，保留四位小数。

Step-by-step solution

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   先看这个角是不是特殊角。 入门课程里有精确值的角是 $0^\circ,30^\circ,45^\circ,60^\circ,90^\circ$ 以及它们的各种对称角。$20^\circ$ 一个都不是，所以并不存在什么漂亮的根式可以照抄——这里是真的需要计算器，而不是你漏掉了捷径。

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   算之前先把答案框住。 正弦在 $[0^\circ,90^\circ]$ 上递增，而 $\sin0^\circ=0$、$\sin30^\circ=0.5$。因为 $0^\circ<20^\circ<30^\circ$，所以值必然严格落在 $0$ 与 $0.5$ 之间，而且离 $0.5$ 比离 $0$ 更近，因为 $20$ 已经走完了通往 $30$ 的三分之二。

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   用小角近似把估计收紧。 换成弧度 $20^\circ=\tfrac{\pi}{9}=0.349066$，而对小的 $\theta$ 有 $\sin\theta\approx\theta-\tfrac{\theta^3}{6}=0.349066-0.007090=0.341976$。所以答案应当在 $0.342$ 上下。

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   算到四位小数。 把计算器切到角度模式：

   $\sin20^\circ=0.3420201\ldots\approx0.3420$

   它与级数估计在四位小数上一致 ✓，也落在第 2 步框出的 $(0,0.5)$ 之内 ✓。

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   提防那个经典的模式错误。 在弧度模式下按同样的键，返回的是 $\sin(20\ \text{弧度})=0.9129$——一个完全不同的数。第 2 步框出的范围能立刻把它识破，这就是先估一估值得花那几秒钟的理由。

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   说说为什么不存在精确的根式。 $20^\circ$ 是 $60^\circ$ 的三分之一，而三等分一个可作图的角，一般来说单靠平方根是做不到的：$\sin20^\circ$ 是 $8t^3-6t+\sqrt3=0$ 的一个根（由 $\sin3\theta=3\sin\theta-4\sin^3\theta$ 配上 $\sin60^\circ=\tfrac{\sqrt3}{2}$，两边再乘 $-2$ 得到）；而与之配套的恒等式 $\cos3\theta=4\cos^3\theta-3\cos\theta$ 配上 $\cos60^\circ=\tfrac12$，给出 $\cos20^\circ$ 所满足的三次方程 $8t^3-6t-1=0$——这一个的系数是有理数且在有理数域上不可约，而这恰恰就是任何平方根表达式都被排除掉的原因。两边都验一下：$\cos20^\circ=0.9396926$ 代入得 $8(0.9396926)^3-6(0.9396926)-1=0.000000$ ✓；$\sin20^\circ=0.3420201$ 代入得 $8(0.3420201)^3-6(0.3420201)+\sqrt3=0.000000$ ✓。