把 arctan(1/x) 用 arctan(x) 表示，分 x 为正和 x 为负两种情况。

Step-by-step solution

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   先注意定义域。 表达式 $\tfrac1x$ 要求 $x\neq 0$，所以这个恒等式会有两支，而在 $x=0$ 处无话可说。

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   用互余角推出正半轴那一支。 当 $x>0$ 时令 $\theta=\arctan x$，则 $0<\theta<\tfrac{\pi}{2}$。在两条直角边分别为 $1$ 和 $x$ 的直角三角形里，两个锐角互余；而把哪条直角边当作「对边」换一下，正好把 $x$ 换成了 $\tfrac1x$：

   $\arctan\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{\pi}{2}-\arctan x,\qquad x>0$

3. 3

   看清负半轴那一支为什么要换一个常数。 当 $x<0$ 时，$\arctan x$ 和 $\arctan\tfrac1x$ 都落在 $\left(-\tfrac{\pi}{2},0\right)$ 内，所以它们的和是负的，不可能等于 $+\tfrac{\pi}{2}$。正确的常数是负的那一个：

   $\arctan\left(\frac{1}{x}\right)=-\frac{\pi}{2}-\arctan x,\qquad x<0$

4. 4

   理解这个跳跃。 函数 $\arctan x+\arctan\tfrac1x$ 在原点两侧各自是常数，但跨过原点时跳了 $\pi$：$x>0$ 时取 $\tfrac{\pi}{2}$，$x<0$ 时取 $-\tfrac{\pi}{2}$。跳跃之所以出现，是因为反正切的主值范围只有 $\pi$ 这么宽。

5. 5

   在每一支上各验一个值。 取 $x=2$：$\arctan\tfrac12\approx 0.46365$，而 $\tfrac{\pi}{2}-\arctan 2\approx 1.57080-1.10715=0.46365$ $\checkmark$。取 $x=-2$：$\arctan\left(-\tfrac12\right)\approx-0.46365$，而 $-\tfrac{\pi}{2}-\arctan(-2)\approx-1.57080+1.10715=-0.46365$ $\checkmark$。