求 arctan(0.003) 的值，分别用弧度和度表示。

Step-by-step solution

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   先说清楚要求的是什么。 $\arctan(0.003)$ 就是 $\left(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right)$ 里满足 $\tan\theta=0.003$ 的那个角 $\theta$。反正切对任何实数都有定义，所以不用像 arcsin、arccos 那样先检查定义域。

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   用小角近似先把答案预判出来。 泰勒级数是

   $\arctan t=t-\frac{t^3}{3}+\frac{t^5}{5}-\cdots$

   当 $t=0.003$ 时，第二项只有 $\tfrac{(0.003)^3}{3}=9\times10^{-9}$——完全可以忽略。所以 $\arctan(0.003)\approx0.003$ 弧度，能准到小数点后八位。

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   给出弧度值。

   $\arctan(0.003)=0.0029999910\ \text{弧度}$

   和级数的预测分毫不差：$0.003-0.000000009=0.002999991$ ✓。结果比输入略小一点点，因为对小的正角 $\theta$ 总有 $\tan\theta>\theta$。

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   换算成度。 乘以 $\dfrac{180}{\pi}=57.29578$：

   $0.002999991\times57.29578=0.171887^\circ\approx0.1719^\circ$

   这大约是 $10.3$ 角分——一个非常平缓的角，常出现在坡度和对准公差里。

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   说说这在实际中意味着什么。 正切等于 $0.003$，就是千分之三的坡度；小角近似于是告诉我们：对平缓的坡度来说，以弧度计的角度就等于坡度本身。再乘 $57.3$ 便直接换成度——这正是测量员和工程师在几度以内可以把坡度和角度当成一回事的原因。

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   反过来验证一遍。 $\tan(0.002999991)=0.00300000$ ✓，把输入还原到了小数点后八位；$\tan(0.171887^\circ)=0.003000$ ✓。