解方程求 a：120² = 150² + a² − 2 · 150 · a · cos(30°)。

Step-by-step solution

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   认出这是余弦定理，而未知量偏偏落在「不好解」的一侧。 在 $c^{2}=b^{2}+a^{2}-2ba\cos C$ 中，未知的 $a$ 既以平方形式又以一次形式出现，所以这是关于 $a$ 的二次方程，不是一步就能算完的代入。要预料到可能有两个正解——这正是 SSA 的两解情形，两个不同的三角形共享同一组已知数据。

2. 2

   代入已知数值。 由 $120^{2}=14400$、$150^{2}=22500$ 以及 $\cos 30^{\circ}=\dfrac{\sqrt3}{2}$：

   $14400=22500+a^{2}-2(150)a\cdot\frac{\sqrt3}{2}=22500+a^{2}-150\sqrt3\,a$

   因子 2 与 $\cos 30^{\circ}$ 的分母正好约掉，留下干净的系数 $150\sqrt3$。

3. 3

   整理成标准二次方程。

   $a^{2}-150\sqrt3\,a+8100=0$

   其中 $22500-14400=8100$。

4. 4

   用求根公式，并把根式化简。

   $\left(150\sqrt3\right)^{2}=67500,\qquad 67500-4(8100)=35100,\qquad \sqrt{35100}=30\sqrt{39}$

   于是

   $a=\frac{150\sqrt3\pm 30\sqrt{39}}{2}=75\sqrt3\pm 15\sqrt{39}$

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   小心地化成小数。 取 $\sqrt3=1.7320508$、$\sqrt{39}=6.2449980$：

   $75\sqrt3=129.9038,\qquad 15\sqrt{39}=93.6750$

   $a=129.9038+93.6750=223.5788\qquad\text{或}\qquad a=129.9038-93.6750=36.2288$

6. 6

   两个根都代回原方程检验。 对 $a=223.5788$：$22500+49987.5-2(150)(223.5788)(0.866025)=14400$ ✓。对 $a=36.2288$：$22500+1312.5-9412.5=14400$ ✓。两个都是正数，所以两个三角形在几何上都成立，必须一并给出。