已知 6sin⁴x + sin²x − 6 = 0，求 2sinx·cosx 的值。

Step-by-step solution

1. 1

   先把三角方程化成二次方程。 式子里只出现 $\sin x$ 的偶次幂，所以令 $u=\sin^{2}x$；于是 $\sin^{4}x=u^{2}$，方程变成

   $6u^{2}+u-6=0$

   注意目标式 $2\sin x\cos x=\sin 2x$ 平方之后同样能用 $u$ 表示，所以根本不需要求出 $x$ 具体是多少。

2. 2

   解这个二次方程，并舍去不可能的根。

   $u=\frac{-1\pm\sqrt{1+144}}{12}=\frac{-1\pm\sqrt{145}}{12}$

   由于 $u=\sin^{2}x$ 必须满足 $0\le u\le 1$，负根 $\frac{-1-\sqrt{145}}{12}\approx-1.09$ 应当舍去。剩下

   $\sin^{2}x=\frac{\sqrt{145}-1}{12}\approx 0.92013$

   稳稳地落在 $[0,1]$ 之内 ✓。

3. 3

   由平方关系求出 $\cos^{2}x$。

   $\cos^{2}x=1-\frac{\sqrt{145}-1}{12}=\frac{13-\sqrt{145}}{12}\approx 0.07987$

4. 4

   不直接算目标式，而是先算它的平方。 先平方就不必去纠结 $\sin x$ 与 $\cos x$ 各自的正负：

   $\left(2\sin x\cos x\right)^{2}=4\sin^{2}x\cos^{2}x=4\cdot\frac{\sqrt{145}-1}{12}\cdot\frac{13-\sqrt{145}}{12}=\frac{\left(\sqrt{145}-1\right)\left(13-\sqrt{145}\right)}{36}$

5. 5

   把根式的乘积展开。

   $\left(\sqrt{145}-1\right)\left(13-\sqrt{145}\right)=13\sqrt{145}-145-13+\sqrt{145}=14\sqrt{145}-158$

   于是

   $\left(2\sin x\cos x\right)^{2}=\frac{14\sqrt{145}-158}{36}=\frac{7\sqrt{145}-79}{18}\approx 0.29395$

6. 6

   开方，并保留正负两个符号。

   $2\sin x\cos x=\sin 2x=\pm\sqrt{\frac{7\sqrt{145}-79}{18}}\approx\pm 0.5422$

   两个符号都会出现：原方程只限定了 $\sin^{2}x$，所以 $x$ 既可能落在 $\sin x$ 与 $\cos x$ 同号的象限，也可能落在两者异号的象限。数值上取 $\sin^{2}x=0.920133$ 代回，得 $6(0.846645)+0.920133-6=0.000000$ ✓。