求 arcsin(0.395) 的精确值，或说明为什么不存在，并给出它的弧度值和角度值。

Step-by-step solution

1. 1

   先弄清题目问的是什么。 我们要找唯一的 $\theta \in \left[-\tfrac{\pi}{2}, \tfrac{\pi}{2}\right]$，使 $\sin\theta = 0.395 = \tfrac{79}{200}$。因为 $0 < 0.395 < 1$，这个角落在第一象限。

2. 2

   排除初等的精确形式。 在有理数里，只有 $0,\ \pm\tfrac12,\ \pm 1$ 这寥寥几个值，才能让正弦取到它的角有初等形式（尼云定理），另外还有二次根式 $\pm\tfrac{\sqrt2}{2}, \pm\tfrac{\sqrt3}{2}$。由于 $\tfrac{79}{200}$ 虽是有理数，却不是 $0, \pm\tfrac12$ 或 $\pm1$，所以这个角不是 $\pi$ 的有理数倍，没有初等的精确表达式。精确答案就是 $\arcsin(0.395)$ 本身。

3. 3

   用级数求出弧度值。 把 $u = 0.395$ 代入 $\arcsin u = u + \tfrac{u^3}{6} + \tfrac{3u^5}{40} + \tfrac{15u^7}{336} + \cdots$：$0.395 + 0.010272 + 0.000721 + 0.000067 + 0.000007 = 0.406067$，收敛到

   $\arcsin(0.395) \approx 0.4060679\ \text{rad}$

4. 4

   换算成度。

   $0.4060679 \times \frac{180}{\pi} \approx 23.2660^{\circ}$

5. 5

   验算，并与邻近的值比一比。 $\sin(23.2660^{\circ}) = 0.395000$。和 $\arcsin(0.375) \approx 22.0243^{\circ}$ 比较：正弦值增加 $0.02$，角度就挪动了约 $1.24^{\circ}$，这与 $\tfrac{d\theta}{d(\sin\theta)} = \tfrac{1}{\cos\theta} \approx 1.088$ 弧度每单位相吻合，也就是每单位正弦对应 $\approx 62^{\circ}$。