求 arcsin(0.375) 的精确值，若不存在则说明原因，并给出它的弧度值与角度值。

Step-by-step solution

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   先把小数写成分数。 $0.375 = \tfrac{3}{8}$，于是问题变成求满足下式的 $\theta$：

   $\sin\theta = \frac{3}{8}, \qquad \theta \in \left[-\tfrac{\pi}{2},\ \tfrac{\pi}{2}\right]$

   正是这个受限的取值范围让 $\arcsin$ 成为一个函数：正弦等于该值的角有无穷多个，落在这个区间里的恰好只有一个。

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   对照可作出的特殊正弦值清单。 中学阶段有闭形式正弦值的角是 $0,\ \tfrac{\pi}{6},\ \tfrac{\pi}{4},\ \tfrac{\pi}{3},\ \tfrac{\pi}{2}$，它们的正弦依次为 $0,\ \tfrac12,\ \tfrac{\sqrt2}{2},\ \tfrac{\sqrt3}{2},\ 1$。而 $\tfrac38 = 0.375$ 不在其中——它介于 $0$ 与 $\tfrac12$ 之间，且更靠近 $\tfrac12$。

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   弄清这里的「精确值」到底指什么。 没有任何由有理数开方写成的表达式等于这个角，所以它的精确值就是这个记号本身：

   $\arcsin\!\left(\frac{3}{8}\right)$

   这不是方法上的失败——就像 $\ln 2$ 或 $\sqrt2$ 本身已经是精确答案一样。

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   算出它的小数值。 用麦克劳林级数 $\arcsin u = u + \tfrac{u^3}{6} + \tfrac{3u^5}{40} + \tfrac{15u^7}{336} + \cdots$，取 $u = 0.375$：$0.375 + 0.008789 + 0.000556 + 0.000047 + 0.000004 = 0.384396$，再把后面的项加上就得到

   $\arcsin(0.375) \approx 0.3843968\ \text{rad}$

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   换算成度并复核。 乘以 $\tfrac{180}{\pi}$：

   $0.3843968 \times 57.295780 \approx 22.0243^{\circ}$

   复核一下：$\sin(22.0243^{\circ}) = 0.375000$，而且 $22.0243^{\circ}$ 略小于正弦达到 $0.5$ 的 $30^{\circ}$，量级上完全合理。