哪个角的余弦值是 −0.8？求出 0° 到 360° 之间的所有解。

Step-by-step solution

1. 1

   先判断解可能落在哪里。 余弦等于单位圆上点的横坐标，所以余弦为负说明角落在纵轴左侧——第二象限或第三象限。可以预期一整圈内恰好有两个解。

2. 2

   用绝对值求参考角。 参考角要用 $+0.8$ 来算，因为它量的是这个角到最近的横轴之间的锐角：

   $\alpha = \cos^{-1}(0.8) \approx 36.87^\circ$

   （这正是我们熟悉的 $3$–$4$–$5$ 直角三角形里的那个角，因为 $0.8 = 4/5$。）

3. 3

   把参考角放到第二象限。 第二象限里的角等于 $180^\circ$ 减去参考角：

   $\theta_1 = 180^\circ - 36.87^\circ = 143.13^\circ$

   这也正是计算器直接算 $\cos^{-1}(-0.8)$ 给出的结果，因为反余弦的值域是 $[0^\circ, 180^\circ]$。

4. 4

   再放到第三象限。 第三象限里的角等于 $180^\circ$ 加上参考角：

   $\theta_2 = 180^\circ + 36.87^\circ = 216.87^\circ$

   等价地也可以写成 $\theta_2 = 360^\circ - \theta_1$，这是因为余弦是偶函数。

5. 5

   换算成弧度并检验。 乘以 $\pi/180$：

   $\theta_1 \approx 2.498 \text{ 弧度}, \qquad \theta_2 \approx 3.785 \text{ 弧度}$

   回代验算：$\cos(143.13^\circ) = -0.8000$，$\cos(216.87^\circ) = -0.8000$，都精确到小数点后四位。再加上 $360^\circ$ 的任意整数倍，就能得到更多的解。