标准差计算器

分步计算标准差、方差和均值

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∑Math Input
4, 8, 6, 5, 3
10, 20, 30, 40, 50
2.5, 3.1, 4.7, 1.8

什么是标准差？

标准差衡量数据值偏离均值的程度。标准差低说明数据集中在均值附近；标准差高说明数据更分散。

总体标准差

当拥有整个总体的数据时使用：

σ=∑i=1N(xi−μ)2N\sigma = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{N}(x_i - \mu)^2}{N}}

样本标准差

当只有总体的一个样本时使用（使用 n−1n-1 进行贝塞尔修正）：

s=∑i=1n(xi−xˉ)2n−1s = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}{n-1}}

其中 μ\mu（或 xˉ\bar{x}）是均值，NN（或 nn）是数据点个数。

如何计算标准差

分步计算过程

  1. 求均值 xˉ=∑xin\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n}
  2. 每个数据点减去均值：(xi−xˉ)(x_i - \bar{x})
  3. 每个差值取平方：(xi−xˉ)2(x_i - \bar{x})^2
  4. 求和所有平方差：∑(xi−xˉ)2\sum(x_i - \bar{x})^2
  5. 除以 nn（总体）或 n−1n-1（样本）得到方差
  6. 开方得到标准差

相关统计量

统计量公式含义
均值xˉ=∑xin\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n}平均值
方差s2=∑(xi−xˉ)2n−1s^2 = \frac{\sum(x_i - \bar{x})^2}{n-1}离散程度（平方单位）
标准差s=s2s = \sqrt{s^2}离散程度（原始单位）

示例题目

Step 1: Mean: xˉ=4+8+6+5+35=265=5.2\bar{x} = \frac{4+8+6+5+3}{5} = \frac{26}{5} = 5.2
Step 2: Squared differences: (4−5.2)2=1.44(4-5.2)^2=1.44, (8−5.2)2=7.84(8-5.2)^2=7.84, (6−5.2)2=0.64(6-5.2)^2=0.64, (5−5.2)2=0.04(5-5.2)^2=0.04, (3−5.2)2=4.84(3-5.2)^2=4.84
Step 3: Sum: 1.44+7.84+0.64+0.04+4.84=14.81.44+7.84+0.64+0.04+4.84 = 14.8
Step 4: Variance: s2=14.85−1=3.7s^2 = \frac{14.8}{5-1} = 3.7
Step 5: Standard deviation: s=3.7≈1.924s = \sqrt{3.7} \approx 1.924
Answer: s≈1.924s \approx 1.924

Step 1: Mean: μ=10+20+303=20\mu = \frac{10+20+30}{3} = 20
Step 2: Squared differences: (10−20)2=100(10-20)^2=100, (20−20)2=0(20-20)^2=0, (30−20)2=100(30-20)^2=100
Step 3: Variance: σ2=100+0+1003=2003≈66.67\sigma^2 = \frac{100+0+100}{3} = \frac{200}{3} \approx 66.67
Step 4: Standard deviation: σ=66.67≈8.165\sigma = \sqrt{66.67} \approx 8.165
Answer: σ≈8.165\sigma \approx 8.165

常见问题

总体标准差除以 N（总数据点数），样本标准差除以 n-1（贝塞尔修正），以给出总体离散程度的无偏估计。

标准差高说明数据点分布在更大的范围内，数据集的变异性更大。

方差是标准差的平方，衡量数据与均值的平均平方距离。标准差更常用于解释，因为它与数据的单位一致。

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