P 值计算器

P 值是在假设原假设 $H_0$ 为真的前提下，观察到与实际结果一样极端或更极端结果的概率。

形式上，对于观测值为 $t$ 的检验统计量 $T$：

• 右尾：$p = P(T \geq t \mid H_0)$
• 左尾：$p = P(T \leq t \mid H_0)$
• 双尾：$p = 2 \cdot P(T \geq |t| \mid H_0)$

解读：P 值小意味着若 $H_0$ 为真则观测数据会令人意外，所以我们有反对 $H_0$ 的证据。P 值大意味着数据与 $H_0$ 一致——但不能证明 $H_0$ 为真。

决策规则：把 $p$ 与预先选定的显著性水平 $\alpha$（通常 0.05）比较：

• $p < \alpha$ → 拒绝 $H_0$（「统计显著」）
• $p \geq \alpha$ → 不拒绝 $H_0$（证据不足）

P 值不是什么：

• 它不是 $H_0$ 为真的概率。
• 它不是备择假设 $H_1$ 为真的概率。
• 它不是效应量的度量。
• 它不能区分「实际显著性」和「统计显著性」。

分步

1. 陈述假设 $H_0$ 和 $H_1$。
2. 选择适合数据的检验（z 检验、t 检验、卡方检验、F 检验……）。
3. 从数据计算检验统计量。
4. 根据 $H_1$ 确定尾数：右尾（$>$）、左尾（$<$）或双尾（$\neq$）。
5. 从检验的分布求 P 值。
6. 与 $\alpha$ 比较并得出结论。

由 Z 统计量求 P 值

对于标准正态 $Z$：

• 右尾：$p = 1 - \Phi(z)$
• 左尾：$p = \Phi(z)$
• 双尾：$p = 2(1 - \Phi(|z|))$

速查：$z = 1.96$ → 双尾 $p \approx 0.05$。$z = 2.576$ → 双尾 $p \approx 0.01$。

由 T 统计量求 P 值

用自由度为 $n - 1$（或检验指定值）的 t 分布。尾数逻辑与 z 相同，但小自由度时该分布尾部稍重。

由卡方统计量求 P 值

卡方检验本质上是右尾的，因为 $\chi^2 \geq 0$ 且较大的值表示与 $H_0$ 拟合更差：

$p = P(\chi^2_{df} \geq \text{observed})$

单尾与双尾：用哪个？

• 双尾：当你关注 $H_0$ 任一方向的偏离时。大多数学术场合的默认值。
• 单尾：当备择假设有方向且预先指定时（$H_1: \mu > 0$，而非 $\mu \neq 0$）。若方向匹配则 P 值减半。

绝不要看到数据后再选尾数——那是 P 值操纵。

常见显著性阈值

美国统计协会警告不要把 $\alpha = 0.05$ 当作明确分界线——背景和效应量比跨过某个阈值更重要。

• 「P 值是 $H_0$ 为真的概率」：错误。P 值是在假设 $H_0$ 为真的前提下计算的；它不衡量 $H_0$ 有多可能为真。
• 把 $p = 0.049$ 和 $p = 0.051$ 视为本质不同：它们不是。0.05 阈值是约定，不是相变。
• 看到数据后再选尾数：如果你看到 $z = -2$ 然后改用左尾检验，就把假阳性率翻倍了。要预先指定。
• 混淆显著性与效应量：在巨大样本下的微小效应可能「高度显著」却几乎无实际意义。始终在 P 值旁报告效应量。
• 多重比较膨胀：在 $\alpha = 0.05$ 下做 20 次检验，偶然预期会出现一个假阳性。使用 Bonferroni 或 FDR 校正。
• 「$p > 0.05$ 证明 $H_0$」：不。不拒绝不等于接受。它只意味着在此样本量下数据没有足够反对 $H_0$ 的证据。