求解或分析非线性微分方程 x'' = −0.005 sin(x)，并给出小角近似解。

Step-by-step solution

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   先认清这个方程，以及它为什么不吃常规套路。 写成 $x''+0.005\sin x=0$，这就是无阻尼单摆方程，其中 $\omega^2=0.005$。因为含有 $\sin x$，它是非线性的，所以特征根法、待定系数法和拉普拉斯变换统统失效——根本不存在可求的初等封闭解。

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   两边乘 x′，凑出一个恰当导数。 这是处理 $x''=F(x)$ 的标准技巧：

   $x'x''=-0.005\,x'\sin x$

   把两边都认成对时间的导数：$x'x''=\dfrac{d}{dt}\!\left(\tfrac12(x')^2\right)$，而由 $\dfrac{d}{dt}\cos x=-x'\sin x$，右边就是 $0.005\dfrac{d}{dt}(\cos x)$。

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   积分一次，得到守恒的能量。 合并后积一次分：

   $\frac{d}{dt}\left(\frac12(x')^2-0.005\cos x\right)=0\qquad\Longrightarrow\qquad \frac12(x')^2-0.005\cos x=C$

   这个首次积分就是总能量：$\tfrac12(x')^2$ 是动能，$-0.005\cos x$ 是势能。它把一个二阶方程降成了一阶。

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   分离变量，撞上椭圆积分。 解出 $x'$：

   $(x')^2=2C+0.01\cos x\qquad\Longrightarrow\qquad \frac{dx}{\sqrt{2C+0.01\cos x}}=\pm\,dt$

   于是

   $\int\frac{dx}{\sqrt{2C+0.01\cos x}}=\pm t+C_2$

   这个积分不是初等的——它是第一类不完全椭圆积分。这就是精确解老老实实的样子：隐式的，写不成显式。

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   小角度下做线性化。 当 $|x|\ll1$ 时 $\sin x\approx x$，方程变成

   $x''+0.005x=0$

   也就是简谐振子。它的特征方程 $r^2+0.005=0$ 给出 $r=\pm i\sqrt{0.005}$，于是

   $x(t)=C_1\cos\!\left(\sqrt{0.005}\,t\right)+C_2\sin\!\left(\sqrt{0.005}\,t\right)$

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   把物理常数提出来。 因为 $0.005=\tfrac{1}{200}$，角频率是

   $\omega=\sqrt{0.005}=\frac{1}{\sqrt{200}}=0.0707107\ \text{rad 每单位时间}$

   对应的周期 $T=\dfrac{2\pi}{\omega}=88.858$。注意线性化后的周期与振幅无关，而真正的非线性周期会随振幅增大——这是这个近似掩盖掉的最重要的一点差别。

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   对两个结果都做数值验证。 取 $x(0)=1.2$、$x'(0)=0$，用四阶龙格-库塔法对精确的非线性方程积分两百万步，能量 $\tfrac12(x')^2-0.005\cos x$ 相对初值 $-0.00181179$ 的漂移小于 $10^{-13}$ ✓，这确认了首次积分。而取 $C_1=0.9$、$C_2=-0.4$ 的线性解，在 $t=3,\,20,\,-7$ 处满足 $x''=-0.005x$，精确到小数点后九位 ✓。