把 $4,400 存入按年复利计息的账户，5 年后账户余额为 $5,790。年利率是多少？

Step-by-step solution

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   从复利公式出发。 一年计息一次时，

   $A=P(1+r)^t$

   其中 $P=4400$ 是本金，$A=5790$ 是 $t=5$ 年后的余额，$r$ 是写成小数的年利率。除 $r$ 之外全是已知量，所以这就是一道解方程题：把 $r$ 单独解出来。

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   先把增长因子单独留下来。 代入数值并两边同除以本金，$P$ 就消掉了：

   $5790=4400(1+r)^5\ \Longrightarrow\ (1+r)^5=\frac{5790}{4400}=1.3159090909\ldots$

   这个数是五年的总增长——本金一共长了约 $31.6\%$，不是每年长这么多。

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   开五次方，把指数消掉。 两边同时取 $\tfrac15$ 次幂，就把总增长换算成年增长：

   $1+r=\left(1.3159090909\right)^{1/5}=1.05644083.$

   这一步常见的错误是改成把总增长除以 $5$，那样会得到约 $6.3\%$，是错的：复利是乘起来的，不是加起来的。

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   减去 1，再化成百分数。

   $r=1.05644083-1=0.05644083=5.644083\%.$

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   四舍五入并检验。 保留一位小数，利率是 $\mathbf{5.6\%}$。把两个候选值分别代回去和目标余额比对：4400(1.056)^5=\5{,}777.93$，$4400(1.057)^5=$5{,}805.34$，而不取整的利率正好还原出$$5{,}790.00$。由于$5.644%$低于中点$5.65%$，应当**向下**舍入为$5.6%$；而且$5.6%$ 确实是两者中更接近的那个。