不等式求解器

不等式是用不等号比较两个表达式大小的数学命题，常用的不等号有：

• $<$（小于）
• $>$（大于）
• $\leq$（小于等于）
• $\geq$（大于等于）

与方程（问「什么值使两边相等」）不同，不等式问的是「什么值使一边大于（或小于）另一边」。

例如，不等式：

$2x - 5 > 3$

问的是：哪些 $x$ 的值能让 $2x - 5$ 大于 $3$？

不等式的解通常是一个区间（值的范围），而不是单个数。解集常用区间表示法：

• $(a, b)$：严格介于 $a$ 和 $b$ 之间的所有值
• $[a, b]$：从 $a$ 到 $b$（含端点）
• $(-\infty, a) \cup (b, \infty)$：小于 $a$ 或大于 $b$ 的所有值

不等式在优化、约束问题以及确定函数的定义域和值域中起着基础作用。

1. 一次不等式

解法与一次方程类似，关键规则：两边同乘或同除负数时，不等号要变向。

示例：解 $2x - 5 > 3$

1. 加 5：$2x > 8$
2. 除以 2：$x > 4$

解集：$(4, \infty)$

含变号的示例：解 $-3x + 6 \leq 12$

1. 减 6：$-3x \leq 6$
2. 除以 $-3$（变号！）：$x \geq -2$

2. 二次不等式

先解对应的等式，再用穿根法（区间检验法）。

示例：解 $x^2 - 4x - 5 > 0$

1. 分解：$(x - 5)(x + 1) > 0$
2. 零点：$x = -1$ 和 $x = 5$
3. 检验区间：
   • $x < -1$：$(-)(-) = (+) > 0$ ✓
   • $-1 < x < 5$：$(-)(+) = (-) < 0$ ✗
   • $x > 5$：$(+)(+) = (+) > 0$ ✓

解集：$(-\infty, -1) \cup (5, \infty)$

3. 分式不等式

分别找分子和分母的零点，用穿根法判断各区间的符号。不要直接对不等式两边乘以可能为负的表达式。

4. 含绝对值的不等式

• $|x| < a$ 等价于 $-a < x < a$
• $|x| > a$ 等价于 $x < -a$ 或 $x > a$

5. 穿根法（符号表）

对多项式/分式不等式，列出各因式在各区间的正负号。

• 忘记变号：两边同乘或同除负数时必须改变不等号方向。
• 端点归属搞错：严格不等式（$<$、$>$）的临界点不包含在解集中；$\leq$、$\geq$ 则包含。
• 直接乘以变量而不考虑正负：如果对不等式两边同乘 $x$，必须分 $x > 0$ 和 $x < 0$ 两种情况讨论。
• 复合不等式处理不当：对于 $a < f(x) < b$，应同时处理两个限制，不能拆开独立求解。
• 区间表示法写错：严格不等式用圆括号，非严格不等式用方括号。