综合除法计算器

综合除法是用线性因式 $x - k$ 去除多项式 $p(x)$ 的一种简便方法。它比长除法更快，得到相同的商与余数，只是书写更少。

给定 $p(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_0$ 除以 $x - k$，综合除法得到：

$p(x) = (x - k) q(x) + r$

其中 $q(x)$ 是商（$n - 1$ 次），$r$ 是常数余数。

主要用途：

1. 当除式是线性 $x - k$ 时，快速进行多项式除法。
2. 求 $p(k)$ 的值——由余数定理，$p(k) = r$，所以余数恰好是函数值。
3. 分解多项式——若 $r = 0$，则 $(x - k)$ 是一个因式，$q(x)$ 给出对应的余因式。
4. 结合有理根定理求有理根。

准备

要把 $p(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_0$ 除以 $x - k$：

1. 把除式的零点 $k$ 写在左边。
2. 把 $p(x)$ 的系数列在右边，缺项要补零。

算法

1. 把第一个系数（$a_n$）原样落下来。
2. 乘以 $k$，结果写在下一个系数（$a_{n-1}$）下方。
3. 把这一列相加。把和写在最下面一行。
4. 重复：把该和乘以 $k$，写在下一个系数下方，相加。
5. 一直进行到处理完所有系数。

读取结果

最下面一行包含：

• 前 $n$ 项：商 $q(x)$ 的系数（按次数降序）。
• 最后一项：余数 $r$。

示例：$(x^3 - 4x + 5) \div (x - 2)$

$x^3 + 0x^2 - 4x + 5$ 的系数：$[1, 0, -4, 5]$。除式零点：$k = 2$。

 2 |  1   0  -4   5
   |      2   4   0
   |________________
      1   2   0   5

商：$x^2 + 2x + 0 = x^2 + 2x$。余数：$5$。

所以 $x^3 - 4x + 5 = (x - 2)(x^2 + 2x) + 5$。

与余数定理的联系

$p(x) = (x - k)q(x) + r$ 中的余数 $r$ 等于 $p(k)$。令 $x = k$：

$p(k) = (k - k) q(k) + r = r$

所以综合除法是一种无需代入即可快速求 $p(k)$ 的方法。

因式定理

一个推论：$(x - k)$ 是 $p(x)$ 的因式当且仅当 $p(k) = 0$，当且仅当综合除法的余数为 $0$。

• 缺失补零占位：对于 $p(x) = x^3 - 4x + 5$，必须为缺失的 $x^2$ 项补一个 $0$，否则各列会错位。
• $k$ 的符号错误：要除以 $x - 2$，用 $k = 2$（除式的零点）。要除以 $x + 3$，用 $k = -3$。
• 不能直接用于 $ax - k$ 形式的除式：教科书中的综合除法适用于 $x - k$（首项系数为 1）。对于 $ax - k$，先提出 $a$ 或改用多项式长除法。
• 忘记落下第一个系数：第一步永远是「落下 $a_n$」——此时不要乘任何数。
• 误读商：最下面一行前 $n$ 项是系数，且次数降低 1。4 次多项式除以 $x - k$ 得到 3 次商。