配方法计算器

配方法是一种代数技巧，把二次式 $ax^2 + bx + c$ 改写为：

$a(x - h)^2 + k$

其中 $(h, k)$ 是抛物线的顶点。

为什么这很重要：

• 一眼就能看出抛物线的顶点（最小值/最大值点）。
• 不用求根公式就能求解任意二次方程。
• 它是推导求根公式所依赖的底层技巧。
• 在微积分中用于计算 $\int \frac{1}{x^2 + bx + c}\,dx$（化为反正切）。
• 对理解高斯积分以及物理中许多主题至关重要。

使其成立的核心恒等式：

$x^2 + bx + \left(\frac{b}{2}\right)^2 = \left(x + \frac{b}{2}\right)^2$

情况 1：首项系数为 1

对于 $x^2 + bx + c$：

1. 取 $b$ 的一半并平方：$(b/2)^2$。
2. 加上再减去这个量：$x^2 + bx + (b/2)^2 - (b/2)^2 + c$。
3. 将完全平方部分组合起来：$(x + b/2)^2 + c - (b/2)^2$。

示例：$x^2 + 6x + 5$

• 6 的一半是 3，平方为 9。
• $x^2 + 6x + 9 - 9 + 5 = (x + 3)^2 - 4$

顶点式：$(x + 3)^2 - 4$，顶点在 $(-3, -4)$。

情况 2：首项系数不为 1

对于 $ax^2 + bx + c$，$a \neq 1$：

1. 从前两项中提出 $a$：$a\left(x^2 + \frac{b}{a}x\right) + c$。
2. 在括号内部配方：$b/a$ 的一半是 $b/(2a)$，平方为 $b^2/(4a^2)$。
3. 在内部加上再减去：$a\left(x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{b^2}{4a^2}\right) - a \cdot \frac{b^2}{4a^2} + c$。
4. 化简：$a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + c - \frac{b^2}{4a}$。

注意当你「抵消」所加的项时要乘以 $a$，因为括号内部被 $a$ 乘了。

求解二次方程

对于 $ax^2 + bx + c = 0$：

1. 配方得到 $a(x - h)^2 + k = 0$。
2. 隔离平方项：$(x - h)^2 = -k/a$。
3. 开平方：$x - h = \pm\sqrt{-k/a}$。
4. 求解：$x = h \pm \sqrt{-k/a}$。

这本质上就是求根公式用一个紧凑表达式所做的事。

• 忘记保持平衡：当你加上 $(b/2)^2$ 时，必须同时减去它，否则就改变了原表达式。
• 系数处理错误：若 $a \neq 1$，必须先从前两项中提出 $a$ 再配方，分配回去时把修正项乘以 $a$。
• $\pm$ 的符号错误：开平方后必须保留两个分支。丢掉 $\pm$ 会丢失一个解。
• $b$ 的一半与 $b/2a$ 的区别：当首项系数为 1 时，取 $b$ 的一半。不为 1 时，先提取系数——然后取新系数的一半。
• 忘记化简常数：配方后，把剩余的常数合并成一个 $k$。