Máy Tính Trung Bình, Trung Vị, Yếu Vị

Trung bình, trung vị và yếu vị là ba số đo xu hướng trung tâm chính trong thống kê. Mỗi cái mô tả tâm của một tập dữ liệu theo một cách khác nhau.

Trung Bình (Trung Bình Cộng)

Trung bình là tổng tất cả các giá trị chia cho số lượng giá trị:

$\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n} = \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n}$

Trung bình nhạy với giá trị ngoại lai — một giá trị rất lớn hoặc rất nhỏ có thể làm dịch chuyển trung bình đáng kể.

Trung Vị

Trung vị là giá trị ở giữa khi dữ liệu được sắp xếp tăng dần. Với $n$ điểm dữ liệu:

• Nếu $n$ lẻ: trung vị $= x_{\frac{n+1}{2}}$
• Nếu $n$ chẵn: trung vị $= \frac{x_{\frac{n}{2}} + x_{\frac{n}{2}+1}}{2}$

Trung vị bền vững với giá trị ngoại lai và được ưa dùng cho các phân phối lệch.

Yếu Vị

Yếu vị là giá trị xuất hiện thường xuyên nhất. Một tập dữ liệu có thể là:

• Một yếu vị — một yếu vị
• Hai yếu vị — hai yếu vị
• Nhiều yếu vị — hơn hai yếu vị
• Không có yếu vị — mọi giá trị xuất hiện với tần suất bằng nhau

Ba số đo này cùng nhau cho một bức tranh toàn diện về vị trí "tâm" của một tập dữ liệu.

Tính Trung Bình

1. Cộng tất cả các giá trị dữ liệu lại: $\sum x_i$
2. Chia cho tổng số lượng $n$
3. Kết quả: $\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n}$

Trung Bình Có Trọng Số: Khi các giá trị có trọng số khác nhau:

$\bar{x}_w = \frac{\sum w_i x_i}{\sum w_i}$

Tính Trung Vị

1. Sắp xếp dữ liệu tăng dần
2. Đếm số lượng giá trị $n$
3. Nếu $n$ lẻ: trung vị là giá trị ở vị trí $\frac{n+1}{2}$
4. Nếu $n$ chẵn: trung vị là trung bình của các giá trị ở vị trí $\frac{n}{2}$ và $\frac{n}{2}+1$

Tính Yếu Vị

1. Đếm tần suất của mỗi giá trị
2. Xác định giá trị (các giá trị) có tần suất cao nhất
3. Nếu mọi giá trị xuất hiện một lần, không có yếu vị

Bảng So Sánh

Khi Nào Dùng Mỗi Số Đo

• Trung bình: Dùng cho dữ liệu phân phối chuẩn không có ngoại lai cực đoan (ví dụ điểm thi trong một lớp lớn).
• Trung vị: Dùng cho dữ liệu lệch hoặc khi có ngoại lai (ví dụ thu nhập hộ gia đình).
• Yếu vị: Dùng cho dữ liệu phân loại hoặc để tìm giá trị phổ biến nhất (ví dụ cỡ giày phổ biến nhất).

Mối Quan Hệ Giữa Trung Bình, Trung Vị và Yếu Vị

Với một phân phối đối xứng hoàn hảo: trung bình $=$ trung vị $=$ yếu vị.

Với một phân phối lệch phải: trung bình $>$ trung vị $>$ yếu vị.

Với một phân phối lệch trái: trung bình $<$ trung vị $<$ yếu vị.

• Quên sắp xếp dữ liệu trước khi tìm trung vị — trung vị cần dữ liệu đã sắp xếp; dùng dữ liệu chưa sắp xếp cho kết quả sai.
• Nhầm trung bình và trung vị với dữ liệu lệch — trung bình bị kéo về phía ngoại lai, nên với các phân phối lệch trung vị là số đo tâm tốt hơn.
• Tuyên bố "không có yếu vị" khi có các tần suất bằng nhau — nếu nhiều giá trị cùng có tần suất cao nhất, tất cả đều là yếu vị (hai yếu vị hoặc nhiều yếu vị).
• Chia cho số lượng sai — đảm bảo bạn chia cho tổng số điểm dữ liệu, không phải số giá trị khác biệt.
• Đưa ngoại lai vào mà không cân nhắc — luôn kiểm tra các giá trị cực đoan có thể làm trung bình gây hiểu lầm.