Máy Tính Xác Suất

Xác suất đo mức độ khả năng một biến cố xảy ra. Nó được biểu diễn bằng một số giữa $0$ và $1$ (hoặc tương đương, $0\%$ đến $100\%$).

$P(A) = \frac{\text{Số kết quả thuận lợi}}{\text{Tổng số kết quả có thể}}$

Các Khái Niệm Then Chốt

• Không gian mẫu $S$: tập hợp tất cả các kết quả có thể
• Biến cố $A$: một tập con của không gian mẫu
• Biến cố đối $A'$: biến cố mà $A$ KHÔNG xảy ra; $P(A') = 1 - P(A)$

Các Loại Xác Suất

• Xác suất lý thuyết: Dựa trên lập luận về các kết quả đồng khả năng (ví dụ một đồng xu cân bằng có $P(\text{ngửa}) = \frac{1}{2}$)
• Xác suất thực nghiệm: Dựa trên tần suất quan sát được từ các thí nghiệm
• Xác suất chủ quan: Dựa trên đánh giá cá nhân hoặc chuyên môn

Các Quy Tắc Xác Suất

• $0 \le P(A) \le 1$ với mọi biến cố $A$
• $P(S) = 1$ (điều gì đó phải xảy ra)
• $P(\emptyset) = 0$ (biến cố không thể)

Xác Suất Cơ Bản

Với các kết quả đồng khả năng:

$P(A) = \frac{|A|}{|S|} = \frac{\text{kết quả thuận lợi}}{\text{tổng kết quả}}$

Quy Tắc Cộng (HOẶC)

Với xác suất biến cố $A$ hoặc biến cố $B$ xảy ra:

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

Nếu $A$ và $B$ xung khắc (không thể xảy ra cùng nhau):

$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$

Quy Tắc Nhân (VÀ)

Với xác suất cả biến cố $A$ và biến cố $B$ đều xảy ra:

$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A)$

Nếu $A$ và $B$ độc lập:

$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$

Xác Suất Có Điều Kiện

Xác suất của $A$ với điều kiện $B$ đã xảy ra:

$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$

Xác Suất Nhị Thức

Xác suất có đúng $k$ thành công trong $n$ phép thử độc lập, mỗi phép có xác suất $p$:

$P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$

trong đó $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

Bảng Tóm Tắt

• Giả định các biến cố độc lập khi chúng không độc lập — rút thẻ không hoàn lại thay đổi xác suất sau mỗi lần rút.
• Quên trừ phần giao trong quy tắc cộng — khi các biến cố có thể xảy ra cùng nhau, bạn phải trừ $P(A \cap B)$ để tránh đếm trùng.
• Nhầm "và" với "hoặc" — "và" nghĩa là cả hai biến cố xảy ra (nhân xác suất cho các biến cố độc lập); "hoặc" nghĩa là ít nhất một xảy ra (cộng xác suất).
• Không xét hết tất cả các kết quả có thể trong không gian mẫu — đảm bảo đếm tổng đúng, đặc biệt với tổ hợp và chỉnh hợp.
• Nhầm chiều của xác suất có điều kiện — $P(A|B)$ không giống $P(B|A)$.