Xác suất định lượng hóa sự bất định. Tin tốt: hầu hết các bài tập về nhà rút gọn về một tập nhỏ các quy tắc và sự sẵn lòng đếm cẩn thận. Hướng dẫn này bao quát nền tảng bạn cần trước khi chuyển sang phân phối, kiểm định giả thuyết hay suy luận Bayes.

"Xác suất" nghĩa là gì

Xác suất của một biến cố $A$ là

$P(A) = \frac{\text{số kết quả thuận lợi}}{\text{tổng số kết quả}}$

với giả định mọi kết quả đều đồng khả năng. $P(A) \in [0, 1]$ :

$0$ = không thể xảy ra.
$1$ = chắc chắn.
$0{,}5$ = một lần tung đồng xu.

Với các kết quả không đồng khả năng, bạn gán trọng số cho từng kết quả (đó chính là việc một phân phối xác suất thực hiện).

Ba quy tắc cốt lõi

Quy tắc cộng (xác suất của A hoặc B)

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

Trừ đi phần giao để không đếm trùng. Nếu $A$ và $B$ xung khắc (không thể cùng xảy ra), phần giao bằng không.

Ví dụ: rút một lá từ bộ bài 52 lá, $P(\text{Già hoặc Cơ}) = 4/52 + 13/52 - 1/52 = 16/52 = 4/13$ . (Một lá vừa là Già vừa là Cơ, vì thế phải trừ đi.)

Quy tắc nhân (xác suất của A và B)

$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B \mid A)$

Nếu $A$ và $B$ độc lập (cái này không ảnh hưởng cái kia), $P(B | A) = P(B)$ , rút gọn thành $P(A) \cdot P(B)$ .

Ví dụ: gieo hai con xúc xắc, $P(\text{cả hai đều ra 6}) = 1/6 \cdot 1/6 = 1/36$ . (Các lần gieo độc lập.)

Xác suất có điều kiện

$P(B \mid A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$

Xác suất của $B$ khi biết rằng $A$ đã xảy ra. Là nền tảng của định lý Bayes và phần lớn thống kê suy diễn.

Ví dụ: lá bài rút ra là một lá hình (J, Q, K). Xác suất nó là lá Già (K) là bao nhiêu?

$P(\text{Già và lá hình}) = 4/52$ .
$P(\text{lá hình}) = 12/52$ .
$P(\text{Già | lá hình}) = (4/52) / (12/52) = 4/12 = 1/3$ .

Đếm: hoán vị và tổ hợp

Từ $n$ phần tử chọn $r$ :

Hoán vị (thứ tự quan trọng): $P(n, r) = \frac{n!}{(n-r)!}$ .
Tổ hợp (thứ tự không quan trọng): $C(n, r) = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ .

Quyết định dựa trên câu hỏi "đổi chỗ hai phần tử đã chọn có cho kết quả khác không?":

Có (ví dụ huy chương vàng và bạc) → hoán vị.
Không (ví dụ chọn một ủy ban 5 người) → tổ hợp.

Ví dụ giải mẫu: xổ số

Chọn 6 số trong 49 số. Thứ tự trên tấm vé không quan trọng — tổ hợp.

$\binom{49}{6} = \frac{49!}{6! \cdot 43!} = 13,983,816$

Vậy $P(\text{trúng giải độc đắc 6 số}) = 1/13{,}983{,}816 \approx 7{,}15 \times 10^{-8}$ .

Độc lập và xung khắc (đừng nhầm lẫn!)

Độc lập: biết $A$ không làm thay đổi $P(B)$ . Các lần tung đồng xu là độc lập.
Xung khắc: $A$ và $B$ không thể cùng xảy ra. Gieo một con xúc xắc không thể vừa ra 1 vừa ra 2.

Hai biến cố có thể thuộc loại này, loại kia, cả hai, hoặc không loại nào. Chúng không phải cùng một khái niệm, dù thường bị nhầm lẫn.

Những lỗi thường gặp

Ngụy biện của con bạc: "Tôi đã tung ra 5 mặt ngửa liên tiếp, nên lần tới chắc chắn phải là mặt sấp." Các lần tung đồng xu là độc lập — quá khứ không làm thay đổi xác suất tương lai.
Cộng các xác suất không xung khắc mà không trừ đi phần giao. $P(\text{Già}) + P(\text{Cơ}) \neq P(\text{Già hoặc Cơ})$ .
Lẫn lộn $P(A | B)$ với $P(B | A)$ . Ngụy biện kinh điển của công tố viên: "Nếu bị cáo vô tội thì khả năng có bằng chứng này là nhỏ; do đó nếu có bằng chứng thì khả năng vô tội là nhỏ." Sai về mặt logic nếu không áp dụng định lý Bayes.

Tự mình thử nhé

Hãy nhập bài toán xác suất bất kỳ vào Máy tính xác suất — cộng, nhân, có điều kiện, kèm tổ hợp. AI sẽ hướng dẫn bạn từng bước.

Liên quan:

Kiến thức cơ bản về xác suất: quy tắc, tổ hợp và ví dụ

Phần giới thiệu rõ ràng về xác suất — định nghĩa, các quy tắc cộng / nhân / có điều kiện, hoán vị và tổ hợp, cùng các ví dụ giải mẫu.