Tích phân từng phần: hướng dẫn thực hành kèm ví dụ

Tích phân từng phần là quy tắc tích chạy ngược, và nó là kỹ thuật tích phân được dùng nhiều nhất sau phép thế. Công thức ngắn gọn, nhưng việc chọn phần nào làm "u" và phần nào làm "dv" trở thành một nghệ thuật khi bạn gặp lần đầu. Hướng dẫn này đi qua mẹo LIATE và năm ví dụ tăng dần độ khó, để bạn kết thúc với một phương pháp đáng tin cậy thay vì thử sai.

Công thức

$\int u \, dv = uv - \int v \, du$

Đổi một tích phân lấy một tích phân khác (hy vọng là) dễ hơn. Nghệ thuật nằm ở việc chọn $u$ và $dv$ — chọn sai khiến tích phân mới khó hơn.

LIATE: một quy tắc kinh nghiệm đáng tin cậy

Khi chọn $u$, ưu tiên các hàm đứng trước trong danh sách này:

Logarit > Inverse (lượng giác ngược) > Algebraic (đại số) > Trigonometric (lượng giác) > Exponential (mũ)

Phần còn lại trở thành $dv$. LIATE không phải là một định lý, nhưng nó hiệu quả với khoảng 90% bài tập trong giáo trình.

Ví dụ 1: $\int x e^x \, dx$ (đại số × mũ)

LIATE → đại số trước mũ, nên $u = x$, $dv = e^x \, dx$.

• $du = dx$, $v = e^x$.
• Áp dụng: $\int x e^x \, dx = x e^x - \int e^x \, dx = x e^x - e^x + C = e^x(x - 1) + C$.

Ví dụ 2: $\int x \ln x \, dx$ (đại số × logarit)

LIATE → logarit trước: $u = \ln x$, $dv = x \, dx$.

• $du = \frac{1}{x} dx$, $v = \frac{x^2}{2}$.
• $\int x \ln x \, dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x} \, dx$.
• Rút gọn: $\frac{x^2}{2}\ln x - \frac{1}{2}\int x \, dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \frac{x^2}{4} + C$.

Ví dụ 3: $\int x^2 \sin x \, dx$ (đại số × lượng giác — áp dụng hai lần)

$u = x^2$, $dv = \sin x \, dx$. Khi đó $du = 2x \, dx$, $v = -\cos x$.

• Lượt thứ nhất: $\int x^2 \sin x \, dx = -x^2 \cos x + \int 2x \cos x \, dx$.
• Lượt thứ hai trên $\int 2x \cos x \, dx$: đặt $u = 2x$, $dv = \cos x \, dx$. Khi đó $du = 2 \, dx$, $v = \sin x$.
• $\int 2x \cos x \, dx = 2x \sin x - \int 2 \sin x \, dx = 2x \sin x + 2 \cos x$.
• Kết hợp: $-x^2 \cos x + 2x \sin x + 2 \cos x + C$.

Khi bạn thấy một đa thức bậc $n$ nhân với $\sin/\cos/\exp$, hãy dự kiến áp dụng quy tắc $n$ lần.

Ví dụ 4: $\int e^x \cos x \, dx$ (mẹo vòng lặp)

Cả hai thừa số đều là ứng viên "tốt" như nhau — không cái nào trở nên đơn giản hơn khi tích phân hay lấy đạo hàm. Áp dụng hai lần và quan sát tích phân ban đầu quay trở lại, rồi giải theo đại số.

• Lượt thứ nhất: $u = \cos x$, $dv = e^x \, dx$ → $\int e^x \cos x \, dx = e^x \cos x + \int e^x \sin x \, dx$.
• Lượt thứ hai trên tích phân mới: $u = \sin x$, $dv = e^x \, dx$ → $\int e^x \sin x \, dx = e^x \sin x - \int e^x \cos x \, dx$.
• Thế ngược lại: ban đầu $= e^x \cos x + e^x \sin x -$ ban đầu.
• Giải: $2 \cdot \text{ban đầu} = e^x (\cos x + \sin x)$, nên ban đầu $= \frac{e^x(\cos x + \sin x)}{2} + C$.

Ví dụ 5: $\int \ln x \, dx$ (trường hợp "không có dv rõ ràng")

Trông như chẳng có gì để tích phân làm $dv$. Mẹo: dùng $dv = dx$ (số "$1$" trong $\ln x \cdot 1$).

• $u = \ln x$, $dv = dx$ → $du = \frac{1}{x} dx$, $v = x$.
• $\int \ln x \, dx = x \ln x - \int x \cdot \frac{1}{x} dx = x \ln x - x + C$.

Mẹo tương tự này xử lý $\int \arcsin x \, dx$, $\int \arctan x \, dx$, và các trường hợp tương tự.

Những lỗi thường gặp

1. Lỗi dấu. Công thức có một dấu trừ duy nhất — dùng giấy nháp để theo dõi $+/-$.
2. Chọn $u$ sai. Nếu tích phân mới khó hơn tích phân ban đầu, bạn đã chọn $u$ và $dv$ ngược. Hãy hoán đổi chúng.
3. Quên "+ C" trong tích phân bất định.
4. Dùng từng phần khi phép thế sẽ hiệu quả. Từng phần dành cho các tích không khớp mẫu thế biến. Nếu là $\int f(g(x)) g'(x) \, dx$, hãy dùng phép thế.

Tự thử

Nhập bất kỳ tích phân nào vào Máy tính Tích phân và chúng tôi sẽ cho bạn biết phép thế, từng phần hay phân thức đơn giản là cách đúng — kèm từng bước.

Để xem các ví dụ giải mẫu cụ thể và chủ đề liên quan:

• Ví dụ giải mẫu: ∫ x² dx
• Ví dụ giải mẫu: ∫ sin(x) dx
• Bảng tóm tắt công thức giải tích
• Làm chủ Quy tắc Dây chuyền — người anh em trong vi phân