Quy tắc dây chuyền: khi nào và áp dụng thế nào (kèm ví dụ)

Quy tắc dây chuyền là công cụ được dùng nhiều nhất trong vi phân, đồng thời cũng là nguồn lỗi lớn nhất. Khi đã thấm mẫu hình "ngoài-rồi-trong", bạn có thể vi phân hầu hết mọi hàm hợp trong ba dòng. Hướng dẫn này chỉ ra mẫu hình đó, đi qua bảy ví dụ khó dần, và liệt kê bốn lỗi đáng ghi nhớ trước.

Quy tắc dây chuyền nói gì

Nếu $f$ và $g$ khả vi, đạo hàm của hợp $f(g(x))$ là

$\frac{d}{dx} f(g(x)) = f'(g(x)) \cdot g'(x).$

Nói bằng lời: lấy đạo hàm hàm ngoài tính tại hàm trong, rồi nhân với đạo hàm của hàm trong. Nhãn "ngoài" và "trong" không thể thương lượng — nhầm chúng là đảo ngược đáp án.

Một câu nhớ hữu ích: quy tắc dây chuyền là "đạo hàm ngoài nhân đạo hàm trong", không bao giờ cộng, không bao giờ chỉ một.

Ví dụ giải mẫu (dễ → khó)

Ví dụ 1: $\frac{d}{dx}\sin(2x)$

• Ngoài: $\sin(u)$, trong: $u = 2x$.
• $\frac{d}{du}\sin(u) = \cos(u)$, $\frac{d}{dx}(2x) = 2$.
• Kết quả: $\cos(2x) \cdot 2 = 2\cos(2x)$.

Ví dụ 2: $\frac{d}{dx} e^{x^2}$

• Ngoài: $e^u$, trong: $u = x^2$.
• $\frac{d}{du} e^u = e^u$, $\frac{d}{dx}(x^2) = 2x$.
• Kết quả: $e^{x^2} \cdot 2x = 2x e^{x^2}$.

Ví dụ 3: $\frac{d}{dx}(3x^2 + 1)^4$

• Ngoài: $u^4$, trong: $u = 3x^2 + 1$.
• $\frac{d}{du} u^4 = 4u^3$, $\frac{d}{dx}(3x^2 + 1) = 6x$.
• Kết quả: $4(3x^2 + 1)^3 \cdot 6x = 24x(3x^2 + 1)^3$.

Ví dụ 4: $\frac{d}{dx}\ln(\cos x)$

• Ngoài: $\ln u$, trong: $u = \cos x$.
• $\frac{d}{du}\ln u = \frac{1}{u}$, $\frac{d}{dx}\cos x = -\sin x$.
• Kết quả: $\frac{1}{\cos x} \cdot (-\sin x) = -\tan x$.

Ví dụ 5: $\frac{d}{dx}\sqrt{x^2 + 1}$

• Viết lại thành $(x^2 + 1)^{1/2}$.
• Ngoài: $u^{1/2}$, trong: $u = x^2 + 1$.
• Đạo hàm ngoài: $\frac{1}{2}u^{-1/2}$. Trong: $2x$.
• Kết quả: $\frac{1}{2}(x^2+1)^{-1/2} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$.

Ví dụ 6: dây chuyền lồng nhau — $\frac{d}{dx}\sin(\cos(x^2))$

Ba lớp — áp dụng quy tắc dây chuyền hai lần.

• Ngoài cùng: $\sin(u)$, trong $u = \cos(x^2)$.
• $\frac{du}{dx} = -\sin(x^2) \cdot 2x$ (quy tắc dây chuyền cho $\cos(x^2)$).
• Kết quả: $\cos(\cos(x^2)) \cdot (-\sin(x^2)) \cdot 2x = -2x\sin(x^2)\cos(\cos(x^2))$.

Ví dụ 7: dây chuyền + quy tắc tích cùng lúc — $\frac{d}{dx}\bigl(x^2 \sin(3x)\bigr)$

• Dùng quy tắc tích trước: $(fg)' = f'g + fg'$.
• $f = x^2$, $f' = 2x$. $g = \sin(3x)$, theo quy tắc dây chuyền $g' = 3\cos(3x)$.
• Kết quả: $2x \sin(3x) + x^2 \cdot 3\cos(3x) = 2x\sin(3x) + 3x^2\cos(3x)$.

Bốn lỗi đáng ghi nhớ

1. Quên đạo hàm hàm trong. Viết $\frac{d}{dx}\sin(2x) = \cos(2x)$ là lỗi quy tắc dây chuyền phổ biến nhất. Hệ số $2$ là bắt buộc.
2. Vi phân phần trong trước khi thế. $\frac{d}{dx}(3x^2+1)^4$ không phải $4(6x)^3$. Đạo hàm ngoài được tính tại biểu thức trong, không phải tại đạo hàm trong.
3. Nhầm hàm lồng với tích. $\sin(2x)$ là một hợp, không phải tích. Dùng quy tắc dây chuyền, không phải quy tắc tích.
4. Đặt ngoặc sai cho lũy thừa lượng giác. $\sin^2(x) = (\sin x)^2$ — ngoài là $u^2$, trong là $\sin x$. Dễ nhầm với $\sin(x^2)$ nơi ngoài là $\sin$ và trong là $x^2$.

Khi bí: mẹo đổi biến

Đặt $u = \text{(phần trong)}$, tìm $\frac{dy}{du}$ và $\frac{du}{dx}$, nhân lại. Dù hàm trông đáng sợ, phép thế máy móc này luôn hiệu quả.

Tự thử

Dán bất kỳ hàm hợp nào vào Máy tính Đạo hàm miễn phí của chúng tôi và xem từng lần áp dụng quy tắc dây chuyền theo từng bước. Kết hợp với phần phiếu tra cứu quy tắc dây chuyền của chúng tôi để tra nhanh khi làm bài tập.

Tài liệu liên quan sâu hơn:

• Máy tính Giới hạn — giới hạn là nền tảng của quy tắc dây chuyền
• Máy tính Tích phân — phép đổi biến là quy tắc dây chuyền chạy ngược
• Ví dụ giải mẫu: đạo hàm của sin(2x)
• Ví dụ giải mẫu: đạo hàm của e^(2x)