Mẹo tính giới hạn

Giới hạn chuẩn (sin)

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$

Nền tảng cho mọi giới hạn lượng giác.

Quy tắc L'Hôpital

$\lim_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$

Dùng khi giới hạn có dạng $\frac{0}{0}$ hoặc $\frac{\infty}{\infty}$ .

Quy tắc đạo hàm

Quy tắc lũy thừa

$\frac{d}{dx}(x^n) = n x^{n-1}$

Đúng với mọi số mũ thực.

Quy tắc tích

$(fg)' = f'g + fg'$

Hai hàm nhân nhau — đạo hàm lần lượt từng hàm.

Quy tắc thương

$\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2}$

Dùng cho tỉ số; nhớ thứ tự $f'g$ trước $fg'$ .

Quy tắc dây chuyền

$\frac{d}{dx} f(g(x)) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$

Ngoài trước rồi trong; nguồn sai lầm phổ biến nhất.

Đạo hàm thông dụng

sin

$\frac{d}{dx}\sin x = \cos x$

cos

$\frac{d}{dx}\cos x = -\sin x$

Lưu ý dấu âm.

e^x

$\frac{d}{dx} e^x = e^x$

Hàm điểm bất động duy nhất.

ln x

$\frac{d}{dx} \ln x = \frac{1}{x}$

Tập xác định $x > 0$ .

Bảng tích phân

Quy tắc lũy thừa (tích phân)

$\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\quad(n \neq -1)$

Phép ngược của quy tắc lũy thừa khi đạo hàm.

1/x

$\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C$

Trường hợp ngoại lệ $n=-1$ của quy tắc lũy thừa.

sin / cos

$\int \sin x\,dx = -\cos x + C,\quad \int \cos x\,dx = \sin x + C$

Ghi nhớ các dấu — rất dễ nhầm.

Hàm mũ

$\int e^x\,dx = e^x + C$

Giống với đạo hàm của nó.

Chuỗi Taylor / Maclaurin

e^x

$e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$

Hội tụ với mọi $x$ thực.

sin x

$\sin x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}$

Chỉ các lũy thừa lẻ.

cos x

$\cos x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}$

Chỉ các lũy thừa chẵn.

Giải tích Formulas