Giải thích bất phương trình: bậc nhất, kép, bậc hai

Bất phương trình trông y hệt phương trình cho đến khi bạn gặp quy tắc khiến bạn giật mình lúc nửa đêm: khi bạn nhân hoặc chia cho một số âm, chiều của bất phương trình đảo lại. Hướng dẫn này đi qua bất phương trình bậc nhất, kép và bậc hai cùng những mẫu hình giải được 95% bài tập.

Quy tắc duy nhất mà ai cũng quên

Với phương trình: mọi phép toán đều bảo toàn đẳng thức. $5 = 5$ kéo theo $5 \cdot (-1) = 5 \cdot (-1)$ — cả hai vế đều bị đổi dấu như nhau, đẳng thức vẫn đúng.

Với bất phương trình: nhân hoặc chia cả hai vế cho một số âm sẽ đảo chiều. $5 > 3$ là đúng, nhưng nhân cả hai với $-1$ ta được $-5 > -3$, điều này sai. Phát biểu đúng là $-5 < -3$.

Chính quy tắc duy nhất này là nguồn gốc của hầu hết các lỗi về bất phương trình. Hãy khắc nó vào phản xạ:

• Cộng/trừ bất cứ gì → không đảo chiều.
• Nhân/chia cho số dương → không đảo chiều.
• Nhân/chia cho số âm → đảo chiều bất phương trình.

Bất phương trình bậc nhất

Giải như khi giải phương trình bậc nhất, lưu ý đến việc đảo dấu.

Ví dụ 1: $3x + 5 > 14$.

• Trừ 5: $3x > 9$.
• Chia cho $3$ (dương, không đảo chiều): $x > 3$.
• Tập nghiệm: $(3, \infty)$ — dấu ngoặc tròn nghĩa là $x = 3$ không được tính.

Ví dụ 2 (có đảo chiều): $-2x + 7 \leq 1$.

• Trừ 7: $-2x \leq -6$.
• Chia cho $-2$ (âm — ĐẢO CHIỀU): $x \geq 3$.
• Tập nghiệm: $[3, \infty)$ — dấu ngoặc vuông vì có $\leq$, bao gồm $3$.

Bất phương trình kép

Một bất phương trình "kép" nối hai bất phương trình đơn bằng VÀ hoặc HOẶC.

VÀ thường được viết thành một chuỗi duy nhất: $-1 < 2x + 3 \leq 7$. Thực hiện phép toán trên cả ba phần cùng lúc.

• Trừ 3 ở mọi nơi: $-4 < 2x \leq 4$.
• Chia cho 2 ở mọi nơi: $-2 < x \leq 2$.
• Nghiệm: $(-2, 2]$.

HOẶC giữ nguyên thành hai bất phương trình riêng. Nghiệm là hợp của cả hai tập nghiệm riêng lẻ:

$x < -3$ hoặc $x > 5$ → nghiệm $(-\infty, -3) \cup (5, \infty)$.

Bất phương trình bậc hai

Với $x^2 + bx + c > 0$ (hoặc bất kỳ bất phương trình $\neq 0$ nào):

1. Tìm nghiệm của $x^2 + bx + c = 0$.
2. Đánh dấu các nghiệm trên trục số — chúng chia trục thành các khoảng.
3. Thử một điểm trong mỗi khoảng để xem tam thức bậc hai dương hay âm ở đó.
4. Chọn các khoảng khớp với chiều của bất phương trình.

Ví dụ: $x^2 - 5x + 6 > 0$.

• Phân tích: $(x - 2)(x - 3) > 0$. Nghiệm tại $x = 2$ và $x = 3$.
• Thử các khoảng:
  • $x = 0$: $(0-2)(0-3) = 6 > 0$ ✓
  • $x = 2.5$: $(0.5)(-0.5) = -0.25 < 0$ ✗
  • $x = 4$: $(2)(1) = 2 > 0$ ✓
• Nghiệm: $(-\infty, 2) \cup (3, \infty)$.

Với bất phương trình $\leq$ hoặc $\geq$, bao gồm các nghiệm (khoảng đóng): $(-\infty, 2] \cup [3, \infty)$.

Biểu diễn nghiệm trên trục số

• Vòng tròn rỗng (○) tại giá trị không được tính ($<$ hoặc $>$).
• Vòng tròn đặc (●) tại giá trị được tính ($\leq$ hoặc $\geq$).
• Mũi tên kéo dài ra vô cực theo chiều của nghiệm.

Kép VÀ → đoạn giữa hai vòng tròn. Kép HOẶC → hai tia riêng biệt đi ra ngoài.

Bất phương trình chứa giá trị tuyệt đối

$|x - a| < b$ tách thành $-b < x - a < b$, tức là $a - b < x < a + b$ — một khoảng bị chặn.

$|x - a| > b$ tách thành $x - a < -b$ HOẶC $x - a > b$, tức là $x < a - b$ HOẶC $x > a + b$ — hai tia đi ra ngoài.

Những lỗi thường gặp

1. Quên đảo chiều khi chia cho số âm. Nguồn lớn nhất gây ra đáp án bất phương trình sai.
2. Tính sai điểm mút. $<$ so với $\leq$ rất quan trọng — loại dấu ngoặc của bạn phụ thuộc vào nó.
3. Coi kép VÀ như dấu bằng. $-2 < x < 5$ là một phát biểu duy nhất; bạn không thể tách nó thành "$x = -2$ hoặc $x = 5$."
4. Giải bất phương trình bậc hai như phương trình. Đặt $x^2 - 4 > 0$ "bằng không" cho nghiệm $\pm 2$; nghiệm của bất phương trình không phải $\{-2, 2\}$ mà là các khoảng giữa/quanh chúng.

Tự mình thử

Đưa bất kỳ bất phương trình nào (bậc nhất, kép, bậc hai, chứa giá trị tuyệt đối) vào Trình giải Bất phương trình miễn phí của chúng tôi — AI đảo dấu chính xác và hiển thị từng bước, kèm đồ thị nghiệm trên trục số.

Tài liệu liên quan:

• Thuật ngữ: Bất phương trình
• Thuật ngữ: Giá trị tuyệt đối
• Máy tính Phương trình bậc hai — kết hợp với phiên bản bất phương trình