Công cụ giải bất phương trình

Một bất phương trình là một phát biểu toán học so sánh hai biểu thức bằng một trong các ký hiệu:

• $<$ (bé hơn)
• $>$ (lớn hơn)
• $\leq$ (bé hơn hoặc bằng)
• $\geq$ (lớn hơn hoặc bằng)

Khác với phương trình (hỏi "giá trị nào làm hai vế bằng nhau?"), bất phương trình hỏi "giá trị nào làm một vế lớn hơn (hoặc bé hơn) vế kia?"

Ví dụ, bất phương trình:

$2x - 5 > 3$

hỏi: với giá trị $x$ nào thì $2x - 5$ lớn hơn $3$?

Nghiệm của một bất phương trình thường là một khoảng giá trị (một khoảng), không phải một số đơn lẻ. Nghiệm thường được biểu diễn theo ký hiệu khoảng:

• $(a, b)$: tất cả giá trị nằm hoàn toàn giữa $a$ và $b$
• $[a, b]$: tất cả giá trị từ $a$ đến $b$, bao gồm hai đầu
• $(-\infty, a) \cup (b, \infty)$: tất cả giá trị bé hơn $a$ hoặc lớn hơn $b$

Bất phương trình là nền tảng trong tối ưu hóa, các bài toán ràng buộc, và xác định tập xác định cùng tập giá trị của hàm số.

1. Bất phương trình bậc nhất

Giải như phương trình bậc nhất, với một quy tắc then chốt: đổi chiều dấu bất phương trình khi nhân hoặc chia cho số âm.

Ví dụ: Giải $2x - 5 > 3$

1. Cộng 5: $2x > 8$
2. Chia cho 2: $x > 4$

Nghiệm: $(4, \infty)$

Ví dụ có đổi chiều dấu: Giải $-3x + 6 \leq 12$

1. Trừ 6: $-3x \leq 6$
2. Chia cho $-3$ (đổi chiều!): $x \geq -2$

2. Bất phương trình bậc hai

Giải phương trình tương ứng trước, rồi xét dấu các khoảng.

Ví dụ: Giải $x^2 - 4x - 5 > 0$

1. Phân tích: $(x - 5)(x + 1) > 0$
2. Điểm tới hạn: $x = -1$ và $x = 5$
3. Xét các khoảng:
   • $x < -1$: $(-)(-) = (+) > 0$ ✓
   • $-1 < x < 5$: $(-)(+) = (-) < 0$ ✗
   • $x > 5$: $(+)(+) = (+) > 0$ ✓

Nghiệm: $(-\infty, -1) \cup (5, \infty)$

3. Bất phương trình hữu tỉ

Tìm nơi tử số và mẫu số bằng không (điểm tới hạn), rồi xét dấu trong từng khoảng. Không bao giờ nhân cả hai vế với một biểu thức có thể âm.

4. Bất phương trình giá trị tuyệt đối

• $|x| < a$ nghĩa là $-a < x < a$
• $|x| > a$ nghĩa là $x < -a$ hoặc $x > a$

5. Phương pháp bảng xét dấu

Với bất phương trình đa thức/hữu tỉ, lập bảng xét dấu thể hiện dấu của từng nhân tử trong mỗi khoảng.

• Quên đổi chiều dấu bất phương trình: Khi nhân hoặc chia cả hai vế cho một số âm, bạn phải đảo chiều bất phương trình.
• Đưa điểm tới hạn vào sai cách: Với bất phương trình nghiêm ngặt ($<$, $>$), điểm tới hạn KHÔNG được tính vào. Với $\leq$ hoặc $\geq$, có tính vào.
• Nhân với biến mà không xét dấu của nó: Nếu nhân cả hai vế với $x$, bạn phải xét riêng các trường hợp $x > 0$ và $x < 0$.
• Xử lý bất phương trình kép sai cách: Với $a < f(x) < b$, giải đồng thời cả hai phần, không phải tách riêng.
• Viết nghiệm sai ký hiệu: Dùng dấu ngoặc tròn cho bất phương trình nghiêm ngặt và dấu ngoặc vuông cho loại bao gồm hai đầu.