เครื่องคำนวณสูตรจุดกึ่งกลาง

สูตรจุดกึ่งกลาง หาจุดที่อยู่กึ่งกลางพอดีระหว่างจุดสองจุดที่กำหนด เป็นเพียง ค่าเฉลี่ยของพิกัด:

รูป 2 มิติ — สำหรับจุด $(x_1, y_1)$ และ $(x_2, y_2)$:

$M = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)$

รูป 3 มิติ — สำหรับจุด $(x_1, y_1, z_1)$ และ $(x_2, y_2, z_2)$:

$M = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}, \frac{z_1 + z_2}{2}\right)$

ทำไมการหาค่าเฉลี่ยจึงใช้ได้: จุดกึ่งกลางแบ่งส่วนในอัตราส่วน $1:1$ และพิกัดของจุดใด ๆ บนส่วนเป็นค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักของจุดปลาย ด้วยน้ำหนักเท่ากัน ($1/2$ แต่ละค่า) คุณได้ค่าเฉลี่ยเลขคณิตอย่างง่าย

สูตรจุดกึ่งกลางปรากฏอยู่ตลอดในเรขาคณิตเชิงพิกัด: การหาจุดศูนย์กลางของวงกลมจากเส้นผ่านศูนย์กลาง เซนทรอยด์ของรูปสามเหลี่ยม รูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน เส้นแบ่งครึ่งตั้งฉาก และปัญหาใด ๆ ที่เกี่ยวกับ 'กึ่งกลางระหว่าง'

ทีละขั้นตอน

1. ระบุจุดสองจุด $(x_1, y_1)$ และ $(x_2, y_2)$
2. หาค่าเฉลี่ยพิกัด x: $\frac{x_1 + x_2}{2}$
3. หาค่าเฉลี่ยพิกัด y: $\frac{y_1 + y_2}{2}$
4. รวม เป็นจุดกึ่งกลาง $(M_x, M_y)$

ไม่มีการลบ ไม่มีการยกกำลังสอง ไม่มีราก — ง่ายกว่าสูตรระยะทางมาก

ปัญหาย้อนกลับ: หาจุดปลายจากจุดกึ่งกลาง

ถ้า $M = (M_x, M_y)$ เป็นจุดกึ่งกลางของ $(x_1, y_1)$ และ $(x_2, y_2)$ คุณแก้หาจุดปลายตัวใดก็ได้:

$x_2 = 2 M_x - x_1, \quad y_2 = 2 M_y - y_1$

คูณจุดกึ่งกลางสองเท่า ลบจุดปลายที่รู้

การวางนัยทั่วไป: สูตรการแบ่งส่วน

สำหรับจุดที่แบ่งส่วนในอัตราส่วน $m : n$ (ไม่ใช่แค่ $1:1$):

$P = \left(\frac{m x_2 + n x_1}{m + n}, \frac{m y_2 + n y_1}{m + n}\right)$

สูตรจุดกึ่งกลางคือกรณีพิเศษที่ $m = n = 1$

การประยุกต์เชิงเรขาคณิต

• จุดศูนย์กลางของวงกลมจากจุดปลายเส้นผ่านศูนย์กลาง: เป็นจุดกึ่งกลางพอดี
• เซนทรอยด์ของรูปสามเหลี่ยม: ค่าเฉลี่ยของพิกัดจุดยอดทั้งสาม (วางนัยจุดกึ่งกลางไปยัง 3 จุด)
• เส้นแบ่งครึ่งตั้งฉาก: เส้นผ่านจุดกึ่งกลางที่ตั้งฉากกับส่วนเดิม
• เส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน: จุดกึ่งกลางของเส้นทแยงมุมทั้งสองตรงกัน — มีประโยชน์ในการพิสูจน์ว่ารูปสี่เหลี่ยมเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน

• ลบแทนที่จะบวก: จุดกึ่งกลางหาค่าเฉลี่ย — $\frac{x_1 + x_2}{2}$ ไม่ใช่ $\frac{x_2 - x_1}{2}$ การลบเป็นของสูตรระยะทาง
• ลืมหารแต่ละพิกัด: ตัวหาร 2 ใช้แยกกับผลบวก x และผลบวก y ไม่ใช่ การหารครั้งเดียวที่ตอนท้าย
• เครื่องหมายผิดกับพิกัดที่เป็นลบ: $\frac{-3 + 7}{2} = 2$ ไม่ใช่ $-2$ หรือ $5$ บวกอย่างระมัดระวัง
• ปนสูตรจุดกึ่งกลางกับสูตรความชัน: จุดกึ่งกลางหาค่าเฉลี่ย ความชันลบ ดูคล้ายกันแต่ตอบคำถามต่างกัน
• ลืมปรับสำหรับ 3 มิติ: ถ้าปัญหาเป็น 3 มิติ ให้รวมค่าเฉลี่ย z ถ้า 2 มิติ อย่าเพิ่ม z ลวง