นักเรียนเรขาคณิตมักสับสนระหว่าง คล้าย กับ เท่ากันทุกประการ แทบจะทุกการพิสูจน์ ความแตกต่างนั้นเล็กน้อยแต่สำคัญยิ่ง: สามเหลี่ยมคล้ายมีรูปร่างเหมือนกัน; สามเหลี่ยมเท่ากันทุกประการมีทั้งรูปร่าง และ ขนาดเหมือนกัน คู่มือนี้สรุปให้ชัดเจนด้วยเกณฑ์ ตัวอย่างที่คำนวณให้ดู และเคล็ดลับการพิสูจน์

นิยามสองข้อ

คล้าย ( $\triangle ABC \sim \triangle DEF$ ): มุมที่สมนัยกันทั้งสามคู่เท่ากัน และด้านที่สมนัยกันทั้งสามคู่ มีอัตราส่วนเท่ากัน
เท่ากันทุกประการ ( $\triangle ABC \cong \triangle DEF$ ): มุมที่สมนัยกันทั้งสามคู่เท่ากัน และด้านที่สมนัยกันทั้งสามคู่ มีความยาวเท่ากัน

ดังนั้นความเท่ากันทุกประการก็คือความคล้ายที่มีอัตราส่วน = 1

เกณฑ์ความเท่ากันทุกประการสี่ข้อ

คุณไม่จำเป็นต้องตรวจสอบทั้งหกส่วน (3 ด้าน + 3 มุม) เพื่อพิสูจน์ความเท่ากันทุกประการ ข้อใดข้อหนึ่งต่อไปนี้ก็เพียงพอแล้ว:

SSS — ด้านทั้งสามคู่เท่ากัน
SAS — สองด้านและมุม ระหว่างด้าน เท่ากัน
ASA — สองมุมและด้าน ระหว่างมุม เท่ากัน
AAS — สองมุมและด้านที่ ไม่อยู่ระหว่างมุม เท่ากัน

หมายเหตุ: SSA ไม่ใช่ เกณฑ์ความเท่ากันทุกประการที่ใช้ได้ (เรียกว่า "กรณีกำกวม") สามเหลี่ยมสองรูปอาจมี SSA ตรงกันแต่ก็ยังต่างกันได้

เกณฑ์ความคล้ายสามข้อ

สำหรับความคล้าย คุณต้องการแค่รูปร่าง:

AA — มุมที่สมนัยกันสองคู่เท่ากัน (มุมที่สามตามมาเองโดยอัตโนมัติเพราะมุมรวมกันได้ 180°)
SSS — ด้านทั้งสามคู่มีอัตราส่วนเท่ากัน
SAS — ด้านสองคู่มีอัตราส่วนเท่ากันโดยมีมุม ระหว่างด้าน เท่ากัน

AA ถูกใช้มากที่สุดอย่างเห็นได้ชัด เพราะมุมมักวัดได้ง่ายที่สุด

ตัวอย่างที่คำนวณให้ดู: การวัดความสูงทางอ้อม

คุณวัดเสาธงโดยตรงไม่ได้ แต่คุณวัดไม้ยาว 6 ฟุตและเงาของมันยาว 4 ฟุตได้ เงาของเสาธงในเวลาเดียวกันของวันยาว 30 ฟุต เสาธงสูงเท่าใด?

สามเหลี่ยมทั้งสองรูปเป็นสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีมุมของดวงอาทิตย์เท่ากัน จึงคล้ายกันด้วยเกณฑ์ AA

$\frac{\text{ความสูงเสาธง}}{30} = \frac{6}{4} \Rightarrow \text{ความสูงเสาธง} = 45 \text{ ฟุต}$

เคล็ดลับนี้ — การเปรียบเทียบสามเหลี่ยมคล้ายที่เกิดจากแสงอาทิตย์ — คือวิธีที่เอราทอสเทนีสวัดเส้นรอบวงของโลกราว 240 ปีก่อนคริสตกาล

การปรับสเกลพื้นที่และเส้นรอบรูป

ถ้าสามเหลี่ยมสองรูปคล้ายกันด้วยอัตราส่วน $k$ :

เส้นรอบรูป ปรับสเกลด้วย $k$
พื้นที่ ปรับสเกลด้วย $k^2$

ดังนั้นการเพิ่มทุกด้านเป็นสองเท่าจะทำให้พื้นที่เป็นสี่เท่า กฎนี้วางนัยทั่วไปกับรูป 2 มิติทุกรูป

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

SSA ไม่พิสูจน์ความเท่ากันทุกประการ — ระวังในข้อสอบแบบเลือกตอบ
เรียงลำดับจุดยอดผิด เมื่อเขียน $\triangle ABC \sim \triangle DEF$ — ลำดับสำคัญ! มันบอกว่า $A \leftrightarrow D$ , $B \leftrightarrow E$ , $C \leftrightarrow F$
ใช้ด้านที่เท่ากันสำหรับความคล้าย ทั้งที่ควรตรวจสอบอัตราส่วน

ลองใช้ตัวแก้สามเหลี่ยม AI

ใส่ข้อมูลของสามเหลี่ยมสองรูปใด ๆ ลงในตัวแก้สามเหลี่ยม แล้วตรวจสอบการให้เหตุผลเรื่องความคล้าย / ความเท่ากันทุกประการของคุณ

ลิงก์ที่เกี่ยวข้อง:

เครื่องคำนวณพื้นที่ — สะดวกสำหรับกฎการปรับสเกล $k^2$
เครื่องคำนวณเส้นรอบรูป — กฎเชิงเส้น $k$
เครื่องคำนวณตรีโกณมิติ — แนวทางที่ขับเคลื่อนด้วยมุม

สามเหลี่ยมคล้ายกับสามเหลี่ยมเท่ากันทุกประการ: เมื่อรูปร่างเดียวกันชนะขนาดเดียวกัน