เครื่องคำนวณสูตรระยะทาง

สูตรระยะทาง คำนวณระยะทางในแนวเส้นตรงระหว่างจุดสองจุดในปริภูมิพิกัด เป็นผลโดยตรงจาก ทฤษฎีบทพีทาโกรัส ที่ใช้กับรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่เกิดจากการแยกในแนวนอนและแนวตั้งระหว่างจุด

รูป 2 มิติ — สำหรับจุด $P_1 = (x_1, y_1)$ และ $P_2 = (x_2, y_2)$:

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

รูป 3 มิติ — สำหรับจุด $(x_1, y_1, z_1)$ และ $(x_2, y_2, z_2)$:

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$

รูป $n$ มิติ (ระยะทางแบบยูคลิด):

$d = \sqrt{\sum_{i=1}^n (b_i - a_i)^2}$

สิ่งนี้ขยายตามธรรมชาติไปยังจำนวนมิติใด ๆ ซึ่งเป็นเหตุผลที่มันเป็นแนวคิด 'ระยะทาง' หลักในฟิสิกส์ สถิติ และแมชชีนเลิร์นนิง

ทีละขั้นตอน

1. ติดฉลากจุด $(x_1, y_1)$ และ $(x_2, y_2)$ การกำหนดแบบใดก็ได้ — สูตรสมมาตร
2. คำนวณผลต่าง: $\Delta x = x_2 - x_1$, $\Delta y = y_2 - y_1$
3. ยกกำลังสอง: $(\Delta x)^2$ และ $(\Delta y)^2$
4. บวก: $(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2$
5. ถอดรากที่สอง: $d = \sqrt{\text{sum}}$
6. ทำให้กรณฑ์เป็นรูปอย่างง่าย ถ้าทำได้ (เช่น $\sqrt{50} = 5\sqrt{2}$)

การพิสูจน์เชิงเรขาคณิต

วาดส่วนแนวนอนจาก $(x_1, y_1)$ ถึง $(x_2, y_1)$ — ความยาว $|x_2 - x_1|$
วาดส่วนแนวตั้งจาก $(x_2, y_1)$ ถึง $(x_2, y_2)$ — ความยาว $|y_2 - y_1|$
ส่วนเดิมเป็นด้านตรงข้ามมุมฉากของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีสองด้านประกอบนี้ ดังนั้นตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส:

$d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$

การถอดรากที่สองให้สูตรระยะทาง ไม่จำเป็นต้องใช้ค่าสัมบูรณ์เพราะการยกกำลังสองกำจัดเครื่องหมาย

สูตรที่เกี่ยวข้อง

• จุดกึ่งกลาง: $M = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)$ — ค่าเฉลี่ยของพิกัด
• ความชัน: $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ — ใช้ผลต่างเดียวกับสูตรระยะทาง
• ระยะทางจากจุดถึงจุดกำเนิด: $d = \sqrt{x^2 + y^2}$ (กรณีพิเศษที่ $(x_1, y_1) = (0, 0)$)

ระยะทางแมนฮัตตัน / แท็กซีแคบ (เพื่อเปรียบเทียบ)

สังเกตว่าสูตรข้างต้นเป็นระยะทาง ยูคลิด ระยะทางแมนฮัตตัน $|x_2 - x_1| + |y_2 - y_1|$ วัดการเดินทางบนตาราง (ไม่มีเส้นทแยง) เป็นเมตริกที่ต่างกัน — ตรวจให้แน่ใจว่าคุณรู้ว่าปัญหาของคุณต้องการแบบใด

• ลืมยกกำลังสอง: $d \ne (x_2 - x_1) + (y_2 - y_1)$ การยกกำลังสอง (และรากที่สอง) เป็นสิ่งจำเป็น
• เครื่องหมายผิด: $(x_2 - x_1)^2 = (x_1 - x_2)^2$ ดังนั้นลำดับการลบไม่มีผล — แต่เพราะการยกกำลังสองเท่านั้น อย่าตัดการยกกำลังสองออกเพราะคุณ 'เห็น' ผลต่าง
• ลืมถอดรากที่สอง: $(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$ คือ $d^2$ ไม่ใช่ $d$ นักเรียนหลายคนหยุดก่อนหนึ่งขั้น
• ไม่ทำกรณฑ์ให้เป็นรูปอย่างง่าย: $\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ การปล่อยเป็น $\sqrt{8}$ ถูกต้องในทางเทคนิคแต่มักถูกหักคะแนนในการสอบ
• ปน 2 มิติกับ 3 มิติ: ถ้าปัญหาเป็น 3 มิติ ให้รวมพจน์ $(z_2 - z_1)^2$ ถ้า 2 มิติ อย่าสร้างพจน์ $z$ ขึ้นมา